Bem-vindos à nossa seção de Exercícios sobre Circunferência e Círculo!
Nesta série de exercícios, exploraremos as propriedades e conceitos fundamentais relacionados à circunferência e ao círculo, dois elementos importantes da geometria. Essas figuras geométricas não são apenas essenciais em si mesmas, mas também possuem aplicações práticas em diversas áreas, desde a física até a engenharia e muitas outras.
Por meio desses exercícios, você irá aprofundar sua compreensão de temas como o cálculo do comprimento da circunferência e da área do círculo, a relação entre a circunferência e o diâmetro, o uso de fórmulas fundamentais e a resolução de problemas práticos que envolvem circunferências e círculos.
Cálculo de distância
A roda de um caminhão tem raio de 
cm. Qual é a distância percorrida pelo caminhão quando a roda dá 
voltas?
Como o raio da roda é
então o seu diâmetro é
Por outro lado, lembremos que o perímetro corresponde ao comprimento da circunferência, e isso equivale à distância que o caminhão percorre a cada volta da roda.
Assim, o perímetro da roda é
Por fim, como queremos saber a distância percorrida pelo caminhão em 100 voltas, temos:
Um farol varre com sua luz um ângulo plano de 
. Se o alcance máximo do farol é de 
milhas, qual é o comprimento máximo do arco correspondente, em metros?
Lembremos que, se um arco de comprimento 
de uma circunferência de raio 
subtende um ângulo central de 
radianos, então
Essa é a fórmula que será utilizada para resolver o problema proposto. No entanto, precisamos expressar o ângulo em radianos, isto é,
Em seguida, o comprimento do arco é
Neste problema, consideremos que
pois essa é a unidade de comprimento utilizada na navegação marítima e aérea.
Portanto, o comprimento do arco em metros é:
Cálculo de área
O comprimento de uma circunferência é 
cm. Qual é a área do círculo?
O comprimento da circunferência representa o seu perímetro, que é calculado pela seguinte fórmula: 
onde representa o raio do círculo.
Podemos reescrever a expressão da seguinte forma: 
A área do círculo é calculada pela fórmula:
A área do círculo é calculada pela fórmula:
Ao substituir o valor de obtido previamente, obtemos:
Finalmente, considerando o valor numérico de 
, a área do círculo é:
A área de um setor circular de 
é 
. Calcule o raio do círculo ao qual ele pertence e o comprimento da circunferência.
A fórmula para calcular a área de um setor circular é
onde 
representa o número de graus e é o raio associado ao setor circular.
A partir dessa expressão, temos:
Em seguida, substituindo os valores numéricos do problema, temos que o raio do círculo ao qual pertence o setor circular é.
Por fim, o comprimento da circunferência (perímetro) é:
Determinar a área de um setor circular cuja corda é o lado do triângulo equilátero inscrito, sendo 
cm o raio da circunferência.
A fórmula para calcular a área de um setor circular é:
onde é o número de graus e é o raio associado ao setor circular.
Como os ângulos internos de um triângulo equilátero medem todos 
, e considerando que o vértice do ângulo central do arco coincide com o centro da circunferência (ver figura), esse ângulo mede
A área do setor circular é:
Dadas duas circunferências concêntricas de raio 
e 
, respectivamente, traçam-se os raios 
e 
, que formam um ângulo de 
. Calcule a área do trapézio circular formado.
A área do trapézio circular formado (ver figura) pode ser calculada da seguinte forma:
onde 
representa a área do setor circular da circunferência externa (cujo raio é 
), enquanto 
representa a área do setor circular da circunferência interna (cujo raio é 
). Portanto,
Assim, substituímos los valores numéricos na fórmula e obtemos na área:
Em um parque de forma circular, com raio de 
, há no centro uma fonte, também circular, com raio de 
. Calcule a área da zona de passeio.
A figura mostra, em cinza, a área correspondente à zona de passeio. Essa região corresponde à área delimitada por duas circunferências concêntricas, ou seja, uma coroa circular.
A área de uma coroa circular é calculada pela seguinte fórmula:
onde:
é o raio maior (raio externo)
é o raio menor (raio interno).
Representação gráfica de uma coroa circular representando um parque no problema de matemática.
Agora, com os dados do problema, temos:
Portanto, a área da zona de passeio no parque é:
A superfície de uma mesa é formada por uma parte central quadrada de 
de lado e dois semicírculos anexados em dois lados opostos. Calcule a área.
Como a parte central da mesa é um quadrado, então os dois semicírculos laterais são iguais e formam um único círculo com diâmetro
A área da mesa é:
onde:
é o comprimento da mesa
é o diâmetro do círculo.
Substituindo os valores numéricos, obtemos a área da mesa:
Calcule a área da parte sombreada, sabendo que o raio do círculo maior mede 
e o raio dos círculos menores mede 
.
De acordo com a figura geométrica apresentada, a área sombreada é calculada por:
onde:
é a área do círculo maior de raio 
é a área de cada um dos círculos menores de raio 
Portanto, temos que
Por fim, substituindo os valores numéricos, obtemos que a área da parte sombreada é:
Calcule a área da parte sombreada, sendo 
, 
um quadrado e 
e 
arcos de circunferência de centros 
e 
.
Como ambos os segmentos circulares são iguais, sem perda de generalidade podemos analisar qualquer um deles. Observe que cada segmento circular é formado por um triângulo isósceles e um setor circular cuja abertura é 
. Portanto,
Finalmente, substituindo os dados numéricos na expressão anterior, a área de 1 segmento circular é:
e a área sombreada buscada é:
Um satélite de comunicações orbita a Terra formando um ângulo de 
em relação à linha do Equador. Se a altura do satélite é de 10.000 quilômetros, qual é o comprimento máximo, em quilômetros, da trajetória que ele percorre em sua órbita?
O comprimento da trajetória do satélite em sua órbita pode ser calculado usando a fórmula do comprimento de arco de uma circunferência. Isso pode ser observado na figura, pois o satélite percorre um caminho circular de raio constante. A fórmula é:
onde é a distância do centro da Terra até o satélite e é o ângulo em radianos.
Vamos lembrar que é equivalente a 
radianos.
Portanto, o satélite percorre:
Uma roda-gigante tem raio de 15 metros. Se a roda-gigante dá 3 voltas completas, qual é a distância percorrida por um passageiro ao longo da circunferência?
A distância percorrida pelo passageiro na roda-gigante pode ser calculada usando o comprimento da circunferência da roda e o número de voltas. Ou seja,
Uma bicicleta com rodas de 26 cm de diâmetro percorreu 5 km. Quantas voltas completas cada roda deu durante esse percurso?
Vamos lembrar que, se 
e representam o número de voltas e o diâmetro, respectivamente, então a distância total percorrida pode ser calculada por meio de:
Como sabemos a distância total percorrida, devemos isolar 
:
Um bolo circular é cortado em 8 porções iguais. Se o bolo tem raio de 20 centímetros, qual é o comprimento do arco de cada porção? Qual é a área da parte superior do bolo?
Para calcular o ângulo, basta dividir 
em 8 partes. Portanto, cada fatia é:
do setor completo. Como ele tem raio de 20 cm, temos que a área desse setor é:
Que raio deve ter uma roda para dar uma volta completa pela linha do Equador da Terra em 3 revoluções?
Primeiro, calculamos a distância do Equador da Terra: sabemos que o raio da Terra até o Equador é de 6378 km. Isso nos indica que devemos percorrer:
em 3 revoluções. Ou seja, queremos que o raio da nossa roda seja tal que
.
Então,
deve ser igual ao comprimento da circunferência. Portanto, o raio deve ser:
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