Seja bem-vindo à sua página dedicada aos problemas e exercícios resolvidos da equação da hipérbole!
Aqui, vamos explorar as características dessa curva fascinante que está no coração da geometria analítica. Também, desvendaremos o passo a passo diversos problemas envolvendo a equação da hipérbole, para que você possa compreender e dominar profundamente essa forma geométrica.
Além disso, vamos guiar você por exemplos práticos e exercícios resolvidos que vão te ajudar a construir um entendimento sólido sobre hipérboles. Seja você um estudante se preparando para provas e ENEM ou um curioso desvendando as maravilhas dessas curvas fascinantes, esta página será seu guia completo! Prepare-se para mergulhar no mundo intrigante das equações da hipérbole!
Determine a equação da hipérbole com foco 
, vértice 
e centro 
1 Como o centro e o vértice se encontram sobre o eixo horizontal, então a equação é da forma.
2 Calculamos o valor de 
, o qual é igual à distância do centro a um dos seus vértices
3 Calculamos o valor de 
, o qual é igual à distância do centro a um dos seus focos
4 Calculamos o valor de 
5 A equação da hipérbole é:
Determine a equação da hipérbole com foco 
, vértice 
e centro
1 Como o centro e o vértice estão sobre o eixo vertical, a equação é da forma:
2 Calculamos o valor de o qual é igual à distância do centro a um dos vértices.
3 Calculamos o valor de o qual é igual à distância do centro a um dos focos.
4 Calculamos o valor de :
5 A equação da hipérbole é:
Encontre a equação da hipérbole com foco 
, vértice 
e centro 
1 Como o centro e o vértice têm a mesma coordenada 
, então a equação é da forma:
2 Calculamos o valor de , que é igual à distância do centro a um dos vértices
3 Calculamos o valor de , que é igual à distância do centro a um dos focos
4 Calculamos o valor de
5 A equação da hipérbole é
Encontre a equação da hipérbole com foco 
, vértice 
e centro 
1 Como o centro e o vértice têm a mesma coordenada 
, então a equação é da forma
2 Calculamos o valor de , que é igual à distância do centro a um dos vértices
3 Calculamos o valor de , que é igual à distância do centro a um dos focos
4 Calculamos o valor de
5 A equação da hipérbole é
Encontre a equação e a excentricidade da hipérbole que tem como focos os pontos 
e 
com diferença das distâncias aos focos igual a 
.
1 Como estão sobre o eixo horizontal e são simétricos em relação à origem, então o centro é e a equação é da forma:
2 Calculamos o valor de , que é igual à distância do centro a um dos focos:
3 Como a diferença dos raios vetores é , então:
, logo 
4 Calculamos o valor de
5 A equação da hipérbole é:
6 A excentricidade é:
Determine a equação e a excentricidade da hipérbole que tem como focos os pontos 
e 
e 
como diferença dos raios vetores.
1. Como os focos estão sobre o eixo vertical e são simétricos em relação à origem, então o centro é e a equação é da forma:
2 Calculamos o valor de , que é igual à distância do centro a um dos focos:
3 Como a diferença dos raios vetores é , então
, logo 
4 Calculamos o valor de:
5 A equação da hipérbole é:
6 A excentricidade é:
Determine as coordenadas dos vértices e dos focos, as equações das assíntotas e a excentricidade da hipérbole 
1 Primeiro, vamos escrever a equação da hipérbole na forma reduzida, dividindo os lados por 
então, 
2 Calculamos o valor de 
3 As coordenadas dos vértices são:
4 As coordenadas dos focos são:
5 As equações das assíntotas são:
6 A excentricidade é:
Encontre as coordenadas dos vértices e dos focos, as equações das assíntotas e a excentricidade da hipérbole 
1 Primeiro escrevemos a equação da hipérbole na sua forma reduzida, para isso dividimos ambos os lados por 
então, 
e
2 Calculamos o valor de
3 As coordenadas dos vértices são:
4 As coordenadas dos focos são:
5 As equações das assíntotas são:
6 A excentricidade é:
Faça a representação gráfica e determine as coordenadas dos focos, dos vértices e a excentricidade das seguintes hipérboles:
9.1
9.2
1.1 A equação da primeira hipérbole tem os seguintes valores de 
e
1.2 Calculamos o valor de
1.3 O eixo é horizontal e a hipérbole tem centro na origem, uma vez que as coordenadas dos vértices são:
1.4 As coordenadas dos focos são:
1.5A excentricidade é:
1.6O gráfico é:
2.1 A equação da segunda hipérbole tem os seguintes valores de
e
2.2Calculamos o valor de
2.3O Se o eixo real é vertical e a hipérbole tem centro na origem, então as coordenadas dos vértices são:
2.4 As coordenadas dos focos são:
2.5 A excentricidade é:
2.6 O gráfico é:
Faça a representação gráfica e determine as coordenadas dos focos, dos vértices e a excentricidade das seguintes hipérboles:
10.1
10.2
1.1 Na primeira hipérbole, vamos representar a equação de forma reduzida dividindo os dois lados por: 
da equação, vamos obter os valores de: e o centro:
e
1.2 Calculamos o valor de:
1.3 O eixo real é horizontal e a hipérbole têm centro na origem, uma vez que as coordenadas dos vértices são:
1.4 As coordenadas dos focos são:
1.5 A excentricidade é:
1.6 O gráfico é:
2.1 Na segunda hipérbole, vamos representar a equação de forma reduzida dividindo ambos os lados por 
da equação é obtido os valores de e o centro
e
2.2 Calculamos o valor de
2.3 O eixo vertical e a hipérbole têm centro na origem, já que as coordenadas dos vértices são:
2.4 As coordenadas dos focos são:
2.5 A excentricidade é:
2.6 O gráfico é:
Faça a representação gráfica e determine as coordenadas dos focos, dos vértices e a excentricidade das seguintes hipérboles:
11.1
11.2
1.1 Na primeira hipérbole, vamos representar a equação de forma reduzida:
da equação são obtidos os valores de: e centro:
e 
1.2 Calculamos o valor de
1.3 O eixo real é horizontal e a hipérbole têm centro 
, uma vez que as coordenadas dos vértices são:
1.4 As coordenadas dos focos são:
1.5 A excentricidade é:
1.6 O gráfico é:
2.1 Vamos representar a segunda hipérbole em sua forma reduzida:
da equação, são obtidos os valores de: e centro
e 
2.2 Calculamos o valor de
2.3 O eixo é vertical e a hipérbole têm centro em , já que as coordenadas dos vértices são:
2.4 As coordenadas dos focos são:
2.5 A excentricidade é:
2.6 O gráfico é:
Encontre a equação da hipérbole com um eixo real horizontal 
e distância focal 
1 Como o eixo real é igual a 
, então,
2 Como a distância focal é igual a 
, então 
3 Calculamos o valor de
4 Consideramos o centro na origem, já que a equação da hipérbole é:
Encontrar a equação de uma hipérbole de eixo imaginário vertical com semi-eixo imaginário igual a 
e distância focal igual a 
.
1 Como o eixo imaginário mede 
,
então 
.
2 Como a distância focal é 
,
então 
.
3 Calculamos o valor de 
:
4 Considerando o centro da hipérbole na origem, a equação reduzida é:
O eixo real de uma hipérbole mede , é horizontal, tem centro na origem e passa pelo ponto 
. Determine a equação.
1 Como o eixo real mede 
, então 
.
2 A equação da hipérbole é:
3 Como a hipérbole passa pelo ponto , substituímos e calculamos o valor de :
4 Como o centro está na origem, a equação reduzida da hipérbole é:
Calcule a equação reduzida da hipérbole com centro na origem, eixo real horizontal, distância focal 
e distância de um foco ao vértice mais próximo igual a 
.
1 Como a distância focal é 
, então 
.
2 Como a distância de um foco ao vértice mais próximo é 
, então 
.
3 Calculamos :
4 Como o centro está na origem, a equação reduzida da hipérbole é:
O eixo principal de uma hipérbole é horizontal e mede 
, e sua excentricidade é 
. Determine a equação da hipérbole.
1 Como o eixo principal mede 
, então 
.
2 Como a excentricidade é 
, então 
.
3 Calculamos :
4 Como o centro está na origem, a equação reduzida da hipérbole é:
Calcule a equação de uma hipérbole equilátera sabendo que a distância focal é 
1 Como a distância focal é 
, então 
2 Como a hipérbole é equilátera, temos 
, e:
3 Considerando o centro na origem, a equação reduzida da hipérbole é:
O eixo imaginário de uma hipérbole é vertical, mede e as equações das assíntotas são 
. Determine a equação da hipérbole, seus eixos, focos e vértices.
1 Como o eixo imaginário mede 
, então 
2 Como a inclinação das assíntotas é 
, então
3 Calculamos
4 Como o centro está na origem, a equação reduzida da hipérbole é:
5 As coordenadas dos vértices são:
6 As coordenadas dos focos são:
Calcule a equação reduzida de uma hipérbole com eixo real horizontal, centro na origem e que passa pelos pontos 
e 
1 A equação da hipérbole é de forma:
2 Como a hipérbole passa pelos pontos e , ao fazer a substituição, é obtido um sistema de equações com termos 
e 
3 A equação da hipérbole é:
Determine a equação reduzida de uma hipérbole com eixo real horizontal, centro na origem, passa pelos pontos 
e excentricidade de 
1 A equação da hipérbole é de forma:
2 Como a hipérbole passa pelo ponto , ao fazer as substituições, é obtido:
3 Como a excentricidade 
e 
, então, ao fazer a substituição, é obtido:
4 Temos o seguinte sistema de equações, do qual se obtém
5 A equação da hipérbole é:
Determine a equação reduzida de uma hipérbole com centro na origem, eixo real horizontal e sabendo que um foco está distante dos vértices da hipérbole 
e
1 Pelo enunciado, sabemos que o eixo real é igual a 
, portanto, 
2 Como a distância focal é igual a 
, então 
3 Calculamos o valor de
4 Consideramos o centro na origen, já que a equação da hipérbole é:
Determine a posição relativa da reta 
em relação à hipérbole 
1 Para determinar os pontos de interseção de ambas curvas, vamos isolar a variável, na reta 
e substituir na hipérbole.
Assim, as raízes são: 
e 
2 Substituindo os valores de na equação da reta, vamos obter os pontos de interseção 
3 O gráfico ficará assim:
Uma hipérbole equilátera passa pelo ponto 
. Encontre a equação referida às suas assíntotas como eixos, e as coordenadas dos vértices.
1 Determinamos a equação da hipérbole. Para isso, multiplicamos 
. Assim, a equação da hipérbole equilátera é 
.
2 Sendo a hipérbole equilátera, 
é a reta que contém o eixo real. Os vértices são obtidos resolvendo o sistema de equações:
3 O gráfico é dado por:
Determine a equação de uma hipérbole equilátera sabendo que 
. Quais as coordenadas dos focos?
1 Como a hipérbole é equilátera, então , logo
2 Consideramos o centro na origem, portanto a equação da hipérbole é
3 Consideramos o centro na origem, portanto a equação da hipérbole é:
4 As coordenadas dos focos são: 
O eixo principal de uma hipérbole é horizontal e mede 
, a excentricidade 
. Calcule a equação da hipérbole.
1 Como o eixo principal é 
, então 
2 Como a excentricidade é 
, então 
3 Calculamos
4 Consideramos o centro na origem, portanto a equação da hipérbole é
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