Temas
Um radical é uma expressão de 
, em que 
e 
. Além disso, se 
é par, então 
não pode ser negativo 
.
Por exemplo, sabemos que 
é par. Portanto, 
; enquanto que 
.
Do mesmo modo, como 
é ímpar, então 
e 
. Isto é, a raiz cúbica está definida para qualquer número real.
As partes que compõem um radical são: coeficiente, índice e radicando
Potências e radicais
Podemos expressar um radical em forma de potência:
Exemplo: Escreva em forma de potência 
Passe o radicando para potência
Transformamos o índice do radical 
em denominador e o expoente do radicando 
em numerador. Em seguida efetuamos as operações:
Radicais equivalentes
Utilizando a notação de expoente fracionário e a propriedade das frações, que nos diz que se multiplicamos numerador e denominador por um mesmo número a fração será equivalente, então:
Se multiplicamos ou dividimos o índice e o expoente ou os expoentes do radicando por um mesmo número natural, obteremos outro radical equivalente.
Exemplo: Um radical equivalente de 
é 
Multiplicamos o índice e o expoente do radicando por um inteiro positivo, por exemplo
Simplificação de radicais
Se existe um número natural que possa ser dividido pelo índice e o expoente (ou os expoentes) do radicando, obteremos um radical simplificado.
Exemplo: Simplifique,
1 
2 
1 Passe para potência 
Para simplificar o radical dividimos por tanto o índice 
como o expoente do radicando
2
Para simplificar o radical dividimos por tanto o índice 
como os expoentes do radicando 
Redução ao índice comum
Para reduzir ao índice comum dois ou mais radicais:
- Encontramos o mínimo múltiplo comum dos índices, que será o índice comum
- Dividimos o índice comum por cada um dos índices e cada resultado obtido vamos multiplicar pelos seus expoentes correspondentes
Exemplo: Passe para índice comum os radicais: 
Em primeiro lugar, encontramos o MMC dos índices: 
e 
Dividimos o índice comum 
por cada um dos índices 
e 
e cada resultado obtido vamos multiplicar pelos seus expoentes correspondentes
Operamos com as potências
Extração de fatores em um radical
Para extrair fatores de um radical decompomos o radicando em fatores. Se:
Um expoente do radicando é menor que o índice
Deixamos o fator correspondente no radicando.
Exemplo: Verifique se é possível extrair os fatores de:
1
2 
1já que 
e os expoentes dos fatores é 1, do qual é menor que o índice 2; então
2 
Já que 
e o expoente 2 é menor que o índice 3; então
Um expoente do radicando é igual ao índice
O fator correspondente sai do radicando.
Exemplo: Extraia os fatores de:
1 
2 
1 Decompomos 
em fatores, como o está elevado a mesma potência que o índice, podemos extrair o do radicando; assim obtemos
2
Decompomos 
em fatores, como o está elevado à mesma potência que o índice, podemos extrair o do radicando; assim obtemos
Um expoente do radicando é maior que o índice
Dividimos o expoente pelo índice. O quociente obtido é o expoente do fator fora do radicando e o resto é o expoente do fator dentro do radicando
Exemplo: Extraia os fatores de:
1 
2 
3 
4 
1 O expoente do 2 é maior que o índice, portanto, dividimos o expoente entre o índice
O quociente obtido é o expoente do fator fora do radicando e o resto 
é o expoente do fator dentro do radicando.
Como o fator 
é igual a 1, não é necessário colocá-lo no radicando já que ele não varia se for multiplicado por outro fator
De maneira geral, se o resultado de dividir o expoente de um fator pelo índice for zero como resto, não colocaremos esse fator no radicando
2
Decompomos em fatores: 
O expoente é maior que o índice, portanto, dividimos o expoente 
entre o índice 
.
O quociente obtido 
é o expoente do fator fora do radicando e o resto é o expoente dentro do radicando
3
Há expoentes no radicando maiores que o índice, portanto, dividimos os expoentes 
e 
pelo índice .
Cada um dos quocientes 
e obtidos será o expoente do fator correspondente fora do radicando e cada um dos restos obtidos 
e serão os expoentes dos fatores correspondentes dentro do radicando
4
Os expoentes do radicando são maiores que o índice, portanto, dividimos os expoentes 
e pelo índice .
Cada um dos quocientes 
obtidos será o expoente do fator correspondente fora do radicando e cada um dos restos obtidos 
serão os expoentes dos fatores correspondentes dentro do radicando
Introdução de fatores em um radical
Para introduzir fatores em um radical elevamos os fatores ao índice do radical.
Exemplo: Introduzir os fatores no radical:
1 
2 
1 Como o índice é , o fator fora do radical é elevado ao quadrado, em seguida realizamos as operações
2
Tanto o 
como o 
são introduzidos elevados à quarta potência, isto é,
Retiramos os parêntesis multiplicando os expoentes, em seguida multiplicamos as potências com a mesma base
Operações com radicais
Para os radicais temos as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e outras que veremos a seguir:
Soma e subtração de radicais
Somente podemos somar (ou subtrair) dois radicais quando sãoradicais semelhantes, isto é, se são radicais com o mesmo índice e radicando igual.
Para somar radicais com o mesmo índice e radicando iguais, somamos os coeficientes dos radicais.
Exemplo: Faça as somas:
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
1 Somamos e subtraímos (dependendo dos sinais) os coeficientes dos radicais, assim
2
Somamos os coeficientes dos radicais
3
Decompomos os radicandos em fatores:
De modo que as raízes são
Extraímos os fatores dos radicais e multiplicamos pelo coeficiente do radical correspondente
Somamos os coeficientes do radicais
4
Extraímos fatores dos radicais e multiplicamos pelo coeficiente do radical correspondente
De modo que
Simplificamos os radicais. No primeiro radical, dividimos o índice e o expoente do radicando por , no segundo por e no terceiro por 
Somamos os coeficientes dos radicais
5
Expressamos os radicandos em fatores
Extraímos os fatores do radicando
Somamos os coeficientes, assim
6
Expressamos os radicandos em fatores
Extraímos os fatores do radicando
Somamos os coeficientes, assim
7
Expressamos os radicandos em fatores
Extraímos os fatores do radicando
Somamos os coeficientes, assim
8
Expressamos os radicandos em fatores
Extraímos os fatores do radicando
Somamos os coeficientes, assim
Multiplicação de radicais
Na multiplicação temos dois casos: com o mesmo índice ou com índice diferente
Multiplicação de radicais com o mesmo índice
Para multiplicar radicais com o mesmo índice multiplicamos os radicando deixando-o com o mesmo índice.
Exemplo: Faça a multiplicação 
Multiplicamos os radicandos
Quando terminamos de fazer uma operação extraímos os fatores do radical, se for possível.
Multiplicação de radicais com índice diferente
Primeiro reduzimos ao mesmo índice comum e em seguida multiplicamos.
Exemplo: Faça as multiplicações:
1
2 
1Decompomos os radicandos em fatores
ao mesmo índice comum para isso temos que calcular o mínimo múltiplo comum dos índices, que será o índice comum.
Dividimos o índice comum por cada um dos índices 
e cada resultado obtido vamos multiplicar pelos seus expoentes correspondentes 
. Fazemos o produto de potências com a mesma base no radicando e extraímos fatores do radicando
2
Calculamos o mínimo múltiplo comum dos índices
Dividimos o índice comum por cada um dos índices 
e cada resultado obtido elevamos aos radicandos correspondentes
Decompomos em fatores e 
, realizamos as operações com as potências e extraímos fatores.
Divisão de radicais
Na divisão temos dois casos: com o mesmo índice ou com índice diferente
Divisão de radicais com o mesmo índice
Para dividir radicais com o mesmo índice dividimos os radicandos deixando-o com o mesmo índice.
Exemplo: Faça a divisão 
Como os radicais têm o mesmo índice colocamos todos eles com radical com mesmo índice
Decompomos em fatores, fazemos a divisão de potências com a mesma base
Simplificamos o radical dividindo o índice e o expoente do radicando por
Divisão de radicais com índice diferente
Primeiro reduzimos ao mesmo índice comum e em seguida dividimos.
Exemplo: Faça as divisões:
1 
2 
3
1 Primeiro reduzimos ao menor índice comum, para isso temos que calcular o mínimo múltiplo comum dos índices, que será o índice comum. 
.
Dividimos o índice comum por cada um dos índices ( e ) e cada resultado obtido vamos multiplicar pelos seus expoentes correspondentes ( e )
2
Decompomos o em fatores para poder fazer a divisão de potências com a mesma base e dividimos
3
Fazemos os mesmos passos do exemplo anterior
Simplificamos o radical dividindo por o índice e o expoente do radicando. Por último extraímos fatores
Potência de um radical
Para elevar um radical a uma potência, elevamos à potência o radicando deixando-o com o mesmo índice.
Exemplo: Simplifique,
1 
2 
1 Elevamos o radicando ao quadrado, decompomos 
em fatores e elevamos ao quadrado. Por último extraímos fatores
2
Elevamos os radicandos à quarta, decompomos os radicandos em fatores e extraímos o do radical
Nos radicando realizamos as operações com potências e passamos para índice comum para poder efetuar a divisão
Simplificamos o radical dividindo por e o índice e os expoentes do radicando, em seguida fazemos uma divisão de potências com o mesmo expoente
Raiz de um radical
A raiz de um radical é outro radical com um radicando igual e cujo índice é o produto dos dois índices.
Exemplo: Simplifique,
1 
2 
1 Multiplicamos os índices
2
Introduzimos o primeiro dentro da raiz cúbica, para isso temos que elevá-lo ao cubo. Em seguida multiplicamos as potências com a mesma base
Introduzimos o 
na raiz quarta, para isso temos que elevá-lo à quarta. Em seguida realizamos o produto de potências e por último o produtos dos índices
Racionalização
A racionalização de radicais consiste em retirar os radicais do denominador, o que facilita o cálculo de operações como a soma de frações
Podemos distinguir três casos:
Caso 1
Racionalização do tipo 
Multiplicamos o numerador e denominador por 
Exemplo: Racionalize 
Multiplicamos o numerador e denominador por
Simplificamos
Caso 2
Racionalização do tipo 
Multiplicamos o numerador e denominador por 
Exemplo: Racionalize 
Colocamos o radicando em forma de potência: 
Temos que multiplicar o numerador e denominador pela raiz quinta de 
Multiplicamos os radicais do denominador, extraímos fatores do radical e simplificamos a fração
Caso 3
Racionalização do tipo 
De maneira geral quando o denominador é um binômio com ao menos um radical.
Multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador.
O conjugado de um binômio é igual ao binômio com o sinal central trocado:
Também temos que levar em conta que: "a soma pela diferença é igual a diferença dos quadrados".
Exemplo: Racionalize,
1 
2 
3 
1 Multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador, retiramos os parêntesis do numerador e efetuamos a soma pela diferença no denominador, assim obtemos uma diferença de quadrados
2
Multiplicamos e dividimos a fração pelo conjugado do denominador
3
Multiplicamos o numerador e denominador pelo conjugado do denominador, retirarmos os parêntesis do numerador e efetuamos a soma pela diferença no denominador, assim obtemos uma diferença de quadrados
Gostou desse artigo? Deixe uma nota!
Loading...
