Fórmula da integração por partes
Introdução
Ao contrário das derivadas, não existe uma fórmula que possa ser usada para integrar qualquer produto de funções.
A regra mais próxima que temos para integrar o produto de funções é a integração por partes. Curiosamente, ela é baseada na fórmula para derivar um produto de funções.
Entretanto, a integração por partes transforma uma integral de um produto em outra integral. Essa fórmula não funciona para integrar todos os produtos de funções.
A fórmula da integração por partes é:
Observe que temos que derivar 
e integrar 
, por isso será conveniente que a integral de seja simples.
Em geral, as funções polinômicas, logarítmicas e arcotangente são escolhidas como . enquanto as funções exponenciais, seno e cosseno são escolhidas como .
Demonstração da Fórmula
Vamos supor que são essas as funções: 
e 
. Então, sua derivada é dada por:
Ao integrar os dois lados da equação, obtemos:
Agora, se passarmos 
para o lado esquerdo, obtemos:
E esta é a fórmula que procurávamos.
Exercícios propostos
Temos um produto entre a função 
e 
. Como mencionado anteriormente, neste tipo de caso, escolhemos 
e 
.
Fazendo a derivada :
Agora, integramos 
:
Portanto, a integral se torna:
Ou seja,
Temos um produto entre a função 
e . Neste tipo de caso, escolhemos e 
.
Fazemos a derivada :
Agora, integramos :
Portanto, a integral se torna:
Dessa forma:
Temos um produto entre a função 
e 
. Em geral, ambas as funções são normalmente escolhidas como . No entanto, neste tipo de caso, o logaritmo tem preferência e escolhemos 
e 
.
Fazemos a derivada (este é o motivo pelo qual escolhemos o logaritmo):
Agora, integramos :
Portanto, a integral se torna:
Dessa forma:
Temos um produto entre a função e 
. Novamente, neste tipo de caso, escolhemos e 
(a função logaritmo é sempre escolhida como ).
Derivamos :
Agora, integramos :
Portanto, a integral se torna:
Ou seja:
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