Temas
- Razões trigonométricas
- Identidades trigonométricas
- Identidades da soma e diferença de ângulos
- Identidades do arco duplo e do arco metade
- Identidades para a redução de potências
- Transformação de soma em produto e vice-versa
- Teoremas do seno, do cosseno e da tangente
- Fórmulas para calcular a área de um triângulo
Razões trigonométricas
Vamos observar s o seguinte triângulo retângulo:
As razões ou funções trigonométricas para o ângulo 
são definidas da seguinte maneira:
1 Seno:
Vamos observar que, em algumas ocasiões, o seno é denotado como 
.
2 Cosseno:
3 Tangente:
A tangente, em algumas ocasiões, é denotada como 
.
4 Cotangente:
A cotangente, em algumas ocasiões, é denotada como 
.
5 Secante:
6 Cossecante:
Em algumas ocasiões, a cossecante é denotada como 
.
Nas identidades seguintes utilizaremos 
e 
para denotar ângulos (em lugar de 
, ou 
).
Identidades trigonométricas
Vamos lembrar que uma identidade trigonométrica é uma relação que envolve funções trigonométricas e que satisfaz para todos os ângulos do domínio. Essas identidades são muito úteis no momento de resolver integrais, equações diferenciais e outros problemas matemáticos.
Como as funções trigonométricas se definem a partir de triângulos retângulos, então satifazem as seguintes identidades:
1 
2 
3 
Identidades da soma e diferença de ângulos
1 
2 
3 
4 
5 
6 
Identidades do arco duplo e do arco metade
As identidades do arco duplo podem ser obtidas a partir das identidades da soma de ângulos (com 
). Por outro lado, as identidades do arco metade são obtidas a partir da identidade do ângulo duplo de 
.
Arco duplo
1 
2 
3 
Arco metade
1 
2 
3 
Observamos que a tangente do arco metade também satisfaz as seguintes identidades:
e
Identidades para a redução de potências
1 
2 
Transformação de soma em produto e vice-versa
Transformação de soma em produto
1 
2 
3 
4 
5 
Transformação de produto em soma
1 
2 
3 
4 
Teoremas do seno, do cosseno e da tangente
Os teoremas do seno, do cosseno e da tangente permitem calcular lados ou ângulos desconhecidos quando o triângulo não é retângulo. Observe a seguinte figura:
1 Teorema do seno: Dado um triângulo (não necessariamente retângulo) com lados 
, 
e 
, com seus ângulos opostos , e , satisfaz a:
Nota: se conhecemos dois ângulos e um lado, então usamos o teorema do seno para calcular os dois lados restantes (o ângulo faltante se calcula lembrando que a soma dos ângulos é 
).
2 Teorema do cosseno: Dado um triângulo (não necessariamente retângulo) com lados , e , com seus ângulos opostos , e , satisfaz a:
De maneira análoga, também satisfaz a:
e
Nota: se conhecemos a medida dos três lados, usamos o teorema do cosseno para calcular os ângulos. Da mesma forma, se conhecemos dois lados e o ângulo formado entre eles, usamos o teorema do cosseno para calcular os dois ângulos restantes e o terceiro lado.
3 Teorema da tangente: Dado um triângulo (não necessariamente retângulo) com lados , e , com seus ângulos opostos , e , satisfaz a:
Fórmulas para calcular a área de um triângulo
Por fim, apresentamos algumas fórmulas para calcular a área de um triângulo. Nessas fórmulas a área é denotada por 
:
1 Se é a base e 
a altura (perpendicular à base ), então a área é calculada por:
2 Vamoa considerar um triângulo com lados , e , com ângulos opostos , e , então, área pode ser calculada utilizando:
Na figura seguinte observamos a altura perpendicular a , desse ponto, é possível ver claramente que 
, de onde se deduz a fórmula.
3 Se 
é o raio da circunferência circunscrita, então a área se calcula por:
Na figura seguinte observamos a circunferência circunscrita, com raio denotado por: .
4 Se 
é o raio da circunferência inscrita (inraio), então a área é calculada por:
onde 
denota o perímetro do triângulo.
Na figura seguinte observamos a circunferência inscrita, cujo raio é denotado por: .
5 Fórmula de Heron: Seja 
o semiperímetro do triângulo de lados , e , ou seja,
então a área é calculada por:
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