Exercícios e problemas sobre equações de parábola

A forma de proceder será determinar, na forma reduzida, as equações das parábolas, indicando o valor do parâmetro , e com isso as coordenadas do foco e a equação da diretriz.

1.

 

Isolamos o termo quadrático:

 

Identificamos o valor de p:

 

Localizamos o foco e encontramos a equação da diretriz:

 

Finalmente,fazemos o gráfico usando os dados obtidos:

 

2.

 

Isolamos o termo quadrático:

 

Identificamos o valor de p:

 

Localizamos o foco e encontramos a equação da diretriz:

 

 

Finalmente, fazemos o gráfico usando os dados obtidos:

 

3.

 

Isolamos o termo quadrático:

 

Identificamos o valor de p:

 

 

Localizamos o foco e encontramos a equação da diretriz:

 

 

Finalmente, fazemos o gráfico usando os dados obtidos:

 

Novamente, vamos proceder determinando, na forma reduzida, as equações das parábolas, indicando o valor do parâmetro , e com isso as coordenadas do foco e do vértice.

1.

 

Completamos o trinômio quadrado perfeito e isolamos:

 

Fatoramos:

 

Com a equação, identificamos seus elementos:

 

Com o vértice e o valor do parâmetro , localizamos o foco e a diretriz:

 

Finalmente, desenhamos o gráfico:

 

2.

 

Completamos o trinômio quadrado perfeito e isolamos:

 

Fatoramos:

 

Com a equação, identificamos seus elementos:

 

Com o vértice e o valor do parâmetro , localizamos o foco e a diretriz:

Finalmente, identificamos no gráfico:

 

 

3.

Completamos o trinômio quadrado perfeito e isolamos:

 

Fatoramos:

 

Com a equação, identificamos seus elementos:

 

Com o vértice e o valor do parâmetro , localizamos o foco e a diretriz:

 

Finalmente, identificamos no gráfico:

A equação da parábola pode ser expressa da seguinte forma:

 

Disto, deduzimos que:

 

Portanto, o foco tem coordenadas   e a equação da diretriz é  .

O lado reto) de uma parábola é a corda traçada pelo foco e paralela à sua diretriz. Para calcular seu comprimento, determinamos o valor de "" quando . Assim, se , então:

Aqui, consideramos o valor positivo, pois estamos calculando uma distância.

Assim, o comprimento do lado reto é o dobro dessa distância, ou seja,

 

1.  De diretriz , de foco .

 

Ao localizar a diretriz e o foco, é fácil deduzir que a parábola tem abertura para a direita e seu vértice é na origem.

Sabendo que o foco para estas parábolas tem coordenadas  , concluimos que: 

 

Finalmente, a parábola tem uma equação:

 

 

2. De diretriz , de foco .

Ao localizar a diretriz e o foco, fica fácil deduzir que a parábola tem abertura para cima e seu vértice está na origem.

Sabendo que o foco para as parábolas dadas tem coordenadas  , concluimos que: .

 

Substituimos na equação:

 

 

3. De diretriz , de foco .

Ao localizar a diretriz e o foco, fica fácil deduzir que a parábola tem abertura para a esquerda e seu vértice é a origem.

O foco para parábolas que abrem para a esquerda tem coordenadas , isto significa que: 

Substituímos na equação:

 

 

 

 
 
3. De diretriz , de foco .

 

Ao localizar a diretriz e o foco, fica fácil deduzir que a parábola tem abertura em direção à esquerda e seu vértice está na origem.

O foco para parábolas que abrem para a esquerda tem como coordenadas , e isso significa: 

 

Substituimos na equação:

 

 

3. De diretriz , de foco

 

Ao localizar a direcriz e o foco, fica fácil deduzir que a parábola tem abertura para o lado esquerdo e o vértice está na origem.

O foco para parábolas que abrem para o lado esquerdo tem abertura para a esquerda, tem como coordenadas , ou seja, 

Substituimos na equação:

 

 

 

4. De diretriz , de vértice .

 

Ao localizar a diretriz e o vértice, fica fácil deduzir que a parábola tem abertura para baixo e seu vértice está na origem origen.

Para estas parábolas, a equação de diretriz é . Sendo assim:

 

E a equação fica como segue:

 

1. De foco , de vértice .

Ao localizar o foco e o vértice, fica fácil deduzir que a parábola abre em direção a direita e seu vértice está na origem. A equação tem a seguinte forma:

 

Lembrete que nestas parábolas, o foco está em  , sendo assim:

 

 

Finalmente,  a equação da  parábola tem a seguinte fórmula:

 

 
2. De foco (3, 2), de vértice (5, 2).

Situando o vértice e o foco, podemos notar que o foco está mais à esquerda do vértice, o que nos indica de que se trata de uma parabóla com abertura para o lado esquerdo e que tem a seguinte equação:

Calculamos a distância do vértice até o foco e vamos obter:

Substituimos na equação:

 

 

3. De foco (-2, 5), de vértice (-2, 2).

 

Ao posicionar o vértice e o foco, observamos que o foco está acima do vértice, o que indica que a parábola tem abertura para cima e sua equação segue a forma:

 

Calculamos a distância do vértice até o foco:

 

Substituimos na equação:

 

 

4. De foco (3, 4), de vértice (1, 4).

 

Marcando o vértice e o foco, podemos notar que o foco está a direita do vértice, o que indica que a parábola tem abertura para a direita:

 

Calculamos a distância do vértice até o foco e obtemos:

 

Fazemos a substituição na equação:

 

Já sabemos que distância entre o vértice e o foco é igual a la distância entre o vértice e a diretriz.

 

A distância de uma reta a um ponto é dada por:

Dessa forma, se consideramos o vértice que desconhecemos como o ponto , a primeira equação é equivalente a:

 

 

Elevamos ao quadrado para eliminar a raiz do lado esquerdo e desenvolvemos:

 

Isolamos, deixando as variáveis  de um lado, e do outro:

 

E, por fim, fatoramos:

Dado que o eixo é horizontal e seu vértice está no ponto , portanto, da equação:

obtemos a seguinte relação:

 

Se a parábola passa pelo ponto , então:

 

Dessa forma, vamos ter a equação:

 

Simplificando a equação de cima, vamos obter a equação da parábola que queremos:

 

 

A equação de uma parábola vertical tem como forma:

 

Como os pontos A, B e C passam pela parábola, suas coordenadas satisfazem sua equação.

 

Resolvemos o sistema de equações e obtemos:

 

E, assim, a equação da parábola é:

Para determinar a posição relativa entre os objetos, precisamos verificar a existência de pontos de interseção, cujas coordenadas devem satisfazer ambas as equações:

 

Para resolver el sistema, podemos elevar ao quadrado a segunda equação e igualar das duas equações.

 

Desenvolmemos:

 

Resolvemos a quadrática (fórmula geral):

 

Temos as coordenadas , e para obter as coordenadas ,  substituimos em uma das equações (escolhemos a mais simples):

 

Assim:

 

Os pntos de interseção são:

 

A reta é secante à parábola, pois há dois pontos de interseção, como ilustrado na imagem abaixo:

Para determinar a posição relativa entre os objetos, verificamos a existência de pontos de interseção, cujas coordenadas devem satisfazer ambas as equações:

Para resolver o  sistema, igualamos as duas equações e resolvemos para

 

Resolvemos a equação quadrática usando a mesma fórmula geral que usamos no exercício anterior: 

 

Temos as coordenadas . Para obter as coordenadas , substituimos em uma  equação inicial. Escolhemos a segunda equação:

 

E, portanto, os pontos de interseção são:

 

A reta é secante à parábola, pois intercepta-a em dois pontos distintos, conforme ilustrado na imagem.