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Revisão
Observação: Todo número real é um número complexo, mas nem todo número complexo é um número real.
Fórmulas para operações com números complexos:
Adição
É feita somando as partes reais e as partes imaginárias em partes separadas:
Multiplicação
É feita como o produto de dois binômios, usando a propriedade distributiva,
lembrando que: 
Divisão
Aritmética de números complexos
Resolva o quociente dos números complexos a seguir:
Aplicamos a fórmula de quociente de números complexos:
Dessa forma, vamos obter:
Resolva as seguintes operações:
1
2
3
4
1
Primeiro elevamos o numerador à terceira potência
Calculamos o quociente
2
Convertemos o número 
para forma polar
Calculamos a potência de 
Ajustando o argumento entre o ângulo 
e 
:
3
Convertemos 
para forma polar
Calculamos a potência de
4
Convertemos o numerador para forma polar
Convertemos o denominador para forma polar
Calculamos o quociente
Obtemos o módulo e argumento das raízes
As raízes cúbicas são:
Resolva e expresse em forma polar
Convertemos o número 
em forma polar
Então,
Para calcular as raízes, vamos calcular o módulo e os argumentos:
As 5 raízes quintas são representadas pelos seguintes números complexos:
Calcule a operação abaixo, fornecendo o resultado em forma polar.
Removemos os parêntesis para realizar as operações com numerador e denominador:
Multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
Então,
Para a forma polar, vamos calcular o módulo e o argumento:
Sendo assim,
Calcule o valor do quociente. Calcule as raízes cúbicas, expressando em forma polar, trigonométrica e binomial
1 Cálculo do quociente
Trocamos o expoente negativos e desenvolvemos a operação:
Considerando que 
, obtemos:
Portanto:
2 Conversão para forma polar
Para encontrar as raízes de 
, convertemos para forma polar determinando módulo e argumento:
Logo:
3 Cálculo das raízes cúbicas
Determinamos módulo e argumento das raízes:
As 3 raízes cúbicas são:
4 Raízes em forma trigonométrica e binomial
Raízes de uma equação
Calcule as raízes da seguinte equação:
Trocamos a forma polar do número dentro da raiz, neste caso, -1.
Determinamos o módulo e o argumento das raízes:
As raízes da equação são, então, os números de módulo 1 e com os argumentos mencionados anteriormente, ou seja,
Calcule as raízes da equação a seguir:
Trocamos a forma polar do número dentro da raiz, neste caso, -1.
Determinamos o módulo e o argumento das raízes:
As raízes da equação são, então, os números de módulo 1 e com os argumentos mencionados anteriormente, ou seja,
Calcule todas as raízes da equação:
Isolamos:
Trocamos a forma polar do número dentro da raiz:
Determinamos o módulo e o argumento das raízes:
As raízes quintas são, então, os números:
Escreva uma equação de segundo grau que tenha como solução 
e o número conjugado.
Considerando um número complexo conjugado:
Podemos encontrar uma equação de segundo grau em que as soluções sejam os números. A equação pode ser escrita assim:
Onde 
é a soma das raízes e 
é o produto. Neste caso,
Portanto, a equação que estamos procurando é:
Escreva uma equação de segundo grau que tenha como soluções 
e número complexo conjugado.
Considerando um número complexo conjugado
Podemos encontrar uma equação de segundo grau que os resultados sejam os números determinados. A equação é escrita da seguinte forma:
Onde é a soma das raízes e é o produto. Neste caso,
Portanto, a equação que estamos buscando é:
Conjugado de um número complexo, forma polar e trigonométrica
Determine o resultado da soma de um número com seu conjugado.
Vamos considerar o número complexo 
e o conjugado 
Fazemos a adição:
Dessa forma, a soma de um número complexo com seu conjugado é igual ao dobro da parte real do número complexo.
Determina o resultado da multiplicação de número complexo com o conjugado
Vamos considerar este número complexo e este conjugado
Vamos fazer a multiplicação:
Dessa forma, o produto de um número complexo comov conjugado é igual à soma dos quadrados da parte real e da parte imaginária do número complexo.
Determine o resultado da diferença entre um número complexo e o conjugado.
Vamos levar em consideração o número complexo e o conjugado
Realizamos a subtração:
Assim, a diferença de um número complexo com seu conjugado é igual ao dobro da parte imaginária do número complexo.
Defina as formas polar e trigonométrica, os conjugados e os opostos de:
a
b
a
Primeiro, vamos obter o módulo e o argumento das raízes:
Dessa forma, a forma polar e trigonométrica fica assim:
O conjugado:
O oposto:
b
Como no exemplo anterior, primeiro, obtemos o módulo e o argumento das raízes:
Então, a forma polar e trigonométrica fica:
O conjugado:
O oposto:
Determine as formas polar e trigonométrica, os conjugados e os opostos de:
a
b
a
Obtemos o módulo e o argumento das raízes:
Portanto, na forma polar e trigonométrica fica desse jeito:
O conjugado:
O oposto:
b
Obtemos o módulo e o argumento das raízes:
Então, a forma polar e trigonométrica é:
O conjugado:
O oposto:
Teorema de Moivre e binômio de Newton
Expresa en forma polar y binómica un complejo cuyo cuadrado sea:
Convertimos a forma polar
Queremos encontrar un número , tal que al elevarlo al cuadrado resulte el número anterior
Obtenemos el módulo y el argumento de las raíces
Las 3 raíces cuadradas constan entonces de los números
Eso convertido a forma trigonométrica y binomial obtengo
Expresse na forma polar e algébrica um número complexo cujo cubo seja:
Convertendo para a forma polar:
Queremos encontrar um número , que, ao elevá-lo ao cubo, resulte no número acima:
Calculamos o módulo e o argumento das raízes:
Então, as três raízes cúbicas são:
Convertendo para a forma trigonométrica e algébrica, obtemos:
Determine a função de cos α e sen α:
a 
b 
1 Binômio de Newton:
Aplicamos o binômio de Newton:
Desenvolvemos:
Separamos a parte real e a parte imaginária:
2 Fórmula de Moivre:
Por outro lado, sabemos que:
Usando o resultado que obtivemos com o binômio de Newton, igualamos as partes reais e concluímos que:
Igualando as partes imaginárias, concluímos que:
Determine a função de cos α y sen α:
a 
b 
1 Binomio de Newton:
Aplicamos o binômio de Newton:
Desenvolvemos:
Separamos a parte real e a parte imaginária:
2 Fórmula de Moivre:
Por outro lado, sabemos que:
Usando o resultado que obtivemos com o binômio de Newton, igualamos as partes reais e concluímos que:
Igualando as partes imaginárias, concluímos que:
Defina a função de 
y 
:
a 
b 
1 Binomio de Newton:
Aplicamos o binômio de Newton:
Desenvolvemos:
Separamos a parte real e a parte imaginária:
2 Fórmula de Moivre:
Por outro lado, sabemos que:
Usando o resultado que obtivemos com o binômio de Newton, igualamos as partes reais e concluímos que:
Igualando as partes imaginárias, concluímos que:
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