Problemas sobre identidades trigonométricas

Usamos a definição de tangente e cotangente para desenvolver o lado esquerdo da equação

Usamos que   e as definições de secante e cossecante para obter:

que é o que queríamos demonstrar.

Primeiro desenvolvemos o quadrado:

Fatoramos  dos dois termos, usamos a identidade e a definição de cossecante e cotangente.

Desenvolvemos o lado direito, começando por fatorar de ambos os termos:

Usamos a identidade e a definição de secante

Usamos a definição de cotangente e secante

Cancelamos o fator e usamos a definição de cossecante

Desenvolvemos com as definições de secante e cossecante e fazemos a soma das frações

Finalmente, usamos a identidade  e obtemos o resultado que queríamos demonstrar:

Primeiro, notamos que:

A fórmula da soma do seno é:

E, ao usá-la, obtemos a identidade desejada de forma imediata:

A definição de cotangente diz que:

Usamos a fórmula da soma da tangente  e simplificamos:

Dividimos numerador e denominador por

, para depois usar a definição de cotangente e simplificar a expressão:

Usamos a fórmula do seno do ângulo duplo:

Consideramos que, como então,

Simplificamos e aplicamos a definição de tangente:

Substituímos com e usamos a fórmula do seno do ângulo duplo, depois realizamos a multiplicação das frações:

Desenvolvemos e simplificamos:

Usamos as fórmulas para transformar somas em produtos de funções trigonométricas:

Portanto,

Simplificamos e usamos a definição da tangente. Além disso, a tangente é uma função ímpar, ou seja,