Determine a equação do plano
Considerando as retas:
Determine a equação do plano que contém a reta 
e é paralelo a 
.
Lembrando que um plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores.
Resolvendo o sistema:
vamos obter que: A=(-2,1,-1) é um ponto da reta e portanto,
pertence ao plano.
Um ponto no plano é: 
Os vetores diretores são:
Por fim, a equação do plano é dada pelo seguinte determinante:
Encontre a equação do plano que contenha as retas abaixo:
Lembrando que um plano é determinado por um ponto e dois vetores diretores.
Vamos resolver:
temos que A=(-2,1,-3) é um ponto da reta e portanto, pertence ao plano.
Um ponto no plano é: 
Os vetores geradores são:
Portanto, a equação do plano é dada pelo seguinte determinante:
Determine a equação do plano que passa pelo ponto A(2, 5, 1) e pela reta de equação:
Através da parametrização, obtemos que o vetor diretor é 
Resolvendo o sistema:
obtemos que B(2,1,-1) é um ponto da reta .
Portanto, o outro vetor diretor é dado por:
Um ponto no plano é: A(2, 5, 1)
Os vetores diretores são:
Dessa forma, a equação do plano é dada pelo seguinte determinante:
Encontre a equação do plano que contenha a reta 
e seja paralela à reta.
A partir da equação contínua da reta que está contida no plano e da equação paramétrica da reta paralela, obtemos dois vetores diretores do plano.
Um ponto no plano é: A(2, 2, 4)
Os vetores diretores sã0:
Assim, a equação do plano é dada conforme o determinante:
Problemas variados da equação do plano
Encontre a equação do plano que passe pelos pontos A(1, −2, 4), B(0, 3, 2) e seja paralela à reta 
.
Um dos vetores diretores do plano será o vetor diretor da reta .
O outro vetor é:
Um ponto no plano é: A(1, −2, 4)
Os vetores diretores são:
Portanto, a equação do plano é dada pelo seguinte determinante:
Considere π um plano que passe por P(1, 2, 1) e intercepta os semieixos coordenados positivos nos pontos A, B e C. Sabendo que o triângulo ABC é equilátero, determinar as equações do plano π.
Lembremos que, se conhecemos os pontos em que um plano intercepta os eixos coordenados, temos:
A equação do plano na forma dos interceptos é dada por:
Como o triângulo é equilátero, os três segmentos dos semieixos positivos, desde a origem até os pontos de interseção, são iguais. Assim, a equação fica:
Para encontrar o valor de 
basta substituir as coordenadas do ponto P(1, 2, 1) na equação:
Portanto, a equação do plano é:
Encontre as equações dos eixos coordenados e planos coordenados.
1. Eixo OX
Ponto pertencente à reta: O(0,0,0): O(0,0,0)
Vetor diretor: 
Equação simétrica da reta:
Equação reduzida:
2. Eixo OY
Ponto pertencente à reta: O(0,0,0)
Vetor diretor: 
Equação simétrica da reta:
Equação reduzida:
3. Eixo OZ
Ponto pertencente à reta: O(0,0,0)
Vetor diretor: 
Equação simétrica da reta:
Equação reduzida:
4. Plano XY
Ponto pertencente ao plano: O(0,0,0)
Vetores diretores:
Portanto, a equação do plano é dada pelo seguinte determinante:
5. Plano XZ
Ponto pertencente ao plano: O(0,0,0)
Vetores diretores:
Portanto, a equação do plano é dada pelo seguinte determinante:
6. Plano YZ
Ponto pertencente ao plano: O(0,0,0)
Vetores diretores:
Portanto, a equação do plano é dada pelo seguinte determinante:
Encontre as coordenadas da interseção entre o plano 
e a reta definida pelo ponto (1, −3, 2) e o vetor 
1. Obtemos a equação da reta descrita
Com o vetor diretor e o ponto que pertence à reta, sua equação paramétrica é:
2. Substituímos na equação do plano
Queremos encontrar o ponto que pertence tanto à reta quanto ao plano, então suas coordenadas devem satisfazer ambas as equações. Substituímos as coordenadas paramétricas na equação do plano:
Eliminamos os parênteses:
Simplificamos e isolamos 
3. Calculamos as coordenadas usando o valor de
Portanto, as coordenadas do ponto de interseção são: (3,1,3)
Determine a equação reduzida do plano que passe pelo ponto P(1, 1, 1) e seja paralelo a:
A partir da equação simétrica do plano ao qual ele é paralelo, obtemos dois vetores diretores:
Vetores diretores:
Um ponto no plano: P(1,1,1)
Portanto a equação do plano é dada pelo determinante:
Encontre a equação do plano paralelo às retas das equações: 
e que passe pelo ponto (1, 1, 2).
1. Obtenha a equação paramétrica de
Para cada uma das retas paralelas, vamos obter um vetor diretor. No entanto, não é possível obter essa informação através da equação reduzida de . Por isso, devemos fazer sua equação paramétrica.
a. Isolamos uma das variáveis (do outro lado da equação)
b. Método de Cramer para resolver 
e 
em função de 
c. Conseguimos 2 pontos na reta atribuindo valores a
d. Determinamos o vetor diretor da reta
Assim, usando o ponto 
sobre a reta
2. Determinamos a equação do plano
Ponto no plano: A(1, 1, 2)
Vetores diretores são:
Portanto, a equação do plano é dada pelo determinante:
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