Exercícios e problemas resolvidos utilizando trigonometria

a)

Onde r = 3. Assim, os ângulos em graus são:

Para obter em minutos, multiplica-se a parte decimal por 60:

Para obter os segundos, multiplica-se a nova parte decimal também por 60:

Portanto, o ângulo sexagenal é:

b)

Usamos a mesma fórmula do anterior:

c)

Também usamos a mesma fórmula:

a)

Utilizamos a fórmula:

Portanto, o valor do ângulo em radianos é:

b)

Utilizamos a fórmula:

Portanto, o valor do ângulo em radianos é:

c)

Utilizamos a fórmula:

Que não é possível simplificar uma vez é 127 é um número primo. Portanto, o ângulo mede:

Onde r é o ângulo em radianos. Sendo assim:

a)

Sendo assim, .

Portanto, o grau é:

b)

Como já temos a fórmula, partimos diretamente para o cálculo:

c)

Como no exemplo anterior, segue o cálculo:

Desta forma, os ângulos serão:

a)

Utilizamos a fórmula e obtemos o radiano:

b)

Aplicamos a fórmula e obtemos o radiano:

c)  

Vamos usar a fórmula do exemplo e e obter o radiano:

onde r é o ângulo para em radianos.

a)

Aqui temos que:

Sendo assim:

b)

Usando a mesma fórmula do exemplo anterior:

c)

Da mesma forma, também repetimos a fórmula:

a)

Utilizamos a fórmula e obtemos o ângulo:

b)

Aplicamos a fórmula para obter o ângulo:

c)

Usamos a fórmula e descobrimos o ângulo:

Aplicando o Teorema de Pitágoras, podemos determinar o valor do cateto oposto 

Portanto:

Aplicando o teorema de Pitágoras, encontramos o valor do cateto adjacente a α

Assim,

Aplicando o teorema de Pitágoras, encontramos o valor da hipotenusa:

Assim,  

A partir daí, desenvolvemos:

Como já temos e  , as outras operações são mais simples:

Observe que tanto na cotangente quanto na cossecante é possível racionalizar o resultado. Portanto, também seria correto assim:

O que se obtém ao multiplicar os resultados anteriores por , eliminando assim os radicais no denominador.

Por outro lado, a tangente está relacionada à secante por meio da sua identidade trigonométrica fundamental:

De onde temos que

Como , então . Portanto,

Daqui, continua

Vale ressaltar que também é uma resposta correta (ao racionalizar o resultado anterior).

Sabemos também que . A partir daqui segue:

As duas identidades que faltam podem ser calculadas de forma bem simples:

e

Por outro lado, a secante se relaciona com a   por meio da sua identidade trigonométrica fundamental:

Além disso,  já que   e , uma vez que 

Da mesma forma,

 E como sabemos que , podemos continuar que

Com isso, as duas últimas identidades trigonométricas são muito fáceis de calcular:

e

e

a)

Para calcular o seno do ângulo, utilizaremos algumas identidades de translação. Podemos observar que:

  Da mesma forma:

Por fim,

b)

Como no exemplo anterior, vamos utilizar algumas operações de translações. Vamos observar que:

Da mesma forma:

a)

Para calcular o seno do ângulo, utilizaremos algumas identidades de translação. Podemos observar que:

Da mesma forma,

Finalmente,

b)

Vamos fazer como no exercício anterior.

Do mesmo jeito:

Por fim,

Primeiro vamos encontrar o ângulo entre e e e que seja igual a . Para isso, dividimos 2655 por 360, e o restante será o ângulo que buscamos:

O que sobrou é 135. Portanto,

Da mesma forma,

Por último,

b)

Este é muito similar ao caso anterior. Primeiro, dividimos 840 por 360 e ficamos com o que sobra:

Assim: . Dessa maneira:

Finalmente,

Agora, podemos ver os dados que nos faltam (os lados b, c e o ângulo C). O mais simples é o ângulo C, visto que A + B + C = 180°)

Como o triângulo é retângulo, podemos usar as funções trigonométricas para calcular o comprimento dos lados restantes. Sabemos que:

De forma que:

Como sabemos que  , então:

Com isso, já encontramos todos os dados que faltavam.

Podemos observar as informações que faltam (os lados a, c e o ângulo C). Como no exemplo anterior, mais simples é o ângulo C, visto que A + B + C = 180°)

Sendo assim:

Como não temos a hipotenusa, devemos utilizar a tangente para começar:

Portanto:

Da mesma forma, , assim,

E, dessa forma, já temos todas as informações que faltavam.

Os dados que faltam são cateto e os ângulos B e C. Pelo Teorema de Pitágoras, sabemos que , assim:

Com isso: e também:

Por sua vez: .

Finalmente, já que sabemos que os ângulos somam 180°,

conseguimos resolver a questão.

Observamos que não temos os ângulos B e C e o lado a.

Como não se trata de um triângulo retângulo, não é possível utilizar o Teorema de Pitágoras. Neste caso, usamos o Teorema dos Cossenos:

E, como já temos todas as informações, conseguimos descobrir o lado que falta:

Como , podemos calcular qualquer um dos ângulos que faltam, utilizando a Lei dos Senos.

Vamos calcular:

Assim: 

E, finalmente, concluindo o triângulo:

Dá para observar que não é necessário calcular o lado c. Podemos usar o ângulo B, em que tangente é dada por:

Utilizando a fórmula do arcotangente, vamos obter o ângulo faltante:

Onde a distância incógnita é denotada por d. A altura do balão é denotada por h e o ângulo de depressão coincide com o ângulo H.

Sabemos que a tangente de H é calculada utilizando

Assim:

Portanto, o balão deve percorrer aproximadamente 3764 m, ou 3.764 km.

O triângulo formado pelo raio e o extremo que une o centro ao ponto médio da corda.

Note que se forma um triângulo retângulo com os pontos A, C, M onde M é o ponto médio do arco.

O raio r é a hipotenusa deste triângulo, e comprimento de c é a metade da corda, ou seja,

e o ângulo C mede 35° (metade do arco). Sabemos que:

já que r é a hipotenusa.

​Portanto,

o raio é aproximadamente 21,44 metros.

Onde b = 130m, a = 80m e C = 70°

Se traçarmos a altura h, que é perpendicular a b, notamos que se forma um triângulo retângulo onde h é um cateto e a é a hipotenusa. Além disso, percebemos que o seno de C é dado por:

assim:

Portanto, a área mede:

Note que há várias formas de resolver esse problema. Uma delas é encontrar a distância resolvendo o triângulo ABC; depois, usamos essa distância para calcular a altura.

Para resolver o triângulo ABC, note que o ângulo ∠CBA do triângulo é:

∠CBA=180∘−30∘−60∘=90∘

Portanto, podemos usar o teorema dos senos para resolver o triângulo. No entanto, precisamos primeiro calcular o ângulo ∠CAB, que é:

∠CAB=60∘

Pelo teorema dos senos, temos:

​Onde:

AB=10, sin⁡(∠CAB)=sin⁡(60∘), sin⁡(∠CBA)=sin⁡(90∘).

Portanto:

Com isso, já podemos calcular a altura da árvore. Note que o triângulo ACD é retângulo. Portanto:

E assim, h=AC⋅sin⁡(30∘)

Por fim, a altura da árvore é: h=8,66 metros

Note que se forma um triângulo retângulo entre os pontos CBM, onde M é o ponto médio de qualquer lado do octógono. Observemos com mais detalhe este triângulo retângulo:

Sabemos que o ângulo central é . Portanto, o ângulo C o triângulo retângulo será . Além disso, o lado

Os dois lados do triângulo que nos faltam são, de fato, os raios das circunferências. Começando pelo lado b, temos que:

Portanto, o raio da circunferência inscrita é 14,49

Depois, para o lado m, temos:

De modo que

Assim, o raio da circunferência circunscrita é 15,68

Para calcular o lado BC basta aplicar a Lei dos Cossenos:

Fazendo a última operação:

Obtemos a distância entre as cidade B e C que estamos buscando.

Note que a expressão do seno do ângulo A é:

​Isolando a altura h, obtemos:

Essa é a altura que buscamos.

Note que a expressão da tangente do ângulo 59,038° é dada por:

​Isolando a altura h, obtemos:

Essa é a altura que estamos buscando.

Primeiro, vamos escrever  e   na definição de seno e cosseno:

Então, fazemos a soma das frações (com o denominador comum)

Nota-se que  

portanto:

que são as definições de e 

Portanto:

b)

Neste caso, é melhor começar pelo lado direito da equação:

Fatoramos o

Relembramos a identidade trigonométrica fundamental de é , de forma que:

c)

Também vamos começar pelo lado direito da operação, fatorando :

Notamos que , assim que:

forma mais simples de demonstrar essa identidade é começar pelo lado esquerdo e escrever as relações em termos de senos e cossenos:

Como cosα se cancela, essa identidade podia ser demonstrada em uma única linha.
 

b)

Começamos pelo lado esquerdo e escrevemos as relações em termos de senos e cossenos:

Em seguida, somamos as frações utilizando o denominador comum:

Como , portanto chegamos ao que queríamos demonstrar.