Exercícios e problemas resolvidos de equações da reta plano II

Para uma equação da expressa em sua forma ordinária e um ponto , é possível calcular sua distância através da seguinte fórmula:

Neste caso, os coeficientes e as coordenadas do ponto são determinados da seguinte maneira:

Fazendo a substituição destas variáveis na fórmula anterior, vamos obter

Ou seja, a distância entre e é igual a

Considerando as retas y , acontece um e apenas um dos cenários seguintes: ou eles são paralelos ou têm algum ponto em comum.

Se forem retas paralelas, elas são distintas ou coincidem. Ou seja, são distintas ou são a mesma reta. É por isso que, antes de calcular a distância entre duas retas, é necessário calcular a inclinação para determinar em qual caso estamos.

Se tiverem a mesma inclinação, serão retas paralelas; caso contrário, se cruzarão em algum ponto.

Para uma equação da reta expressa em sua forma ordinária a inclinação delas é determinada pela expressão. .

Então, particularmente e , tem inclinações

e

Dado que ambas retas têm a mesma inclinação, podemos concluir que são paralelas. Denominamos essa relação como tal.

Dado que , deve-se verificar se são a mesma reta ou diferentes. Para isso, é suficiente encontrar um ponto em comum. que não pertença a . Com essa ideia em mente, vamos realizar a próxima etapa a equação de para obter ; isso implica que é um punto na reta mas não é um ponto em pois

isso confirma que este ponto não satisfaz a equação que define o . Desta forma, podemos concluir que e são retas distintas.

Agora, vamos encontrar um ponto de qualquer uma delas e calculamos a distância deste ponto à reta restante. Vamos utilizar pois já sabemos que .

Finalmente, usando a fórmula

vamos obter

Vamos chamar a reta que estamos procurando de . Como sabemos, duas retas são paralelas se os coeficientes e respectivos são proporcionais, e como deve ocorrer que e, em particular, os coeficientes iguais são proporcionais, a equação que descreve deve ser da forma .
Por outro lado, vamos lembrar que a distância de um ponto a uma reta pode ser encontrado através da fórmula

Se o ponto resulta ser a origem, então a fórmula anterior se reduz a

Isso significa que deve cumprir com

Vamos observar que realmente existe um par de retas que têm distância com a origem e que são paralelas entre si, é por isso que

>E assim, as equações desse par de retas são dadas por .

Vamos começar observando que a área que estamos procurando é o resultado da multiplicação das magnitudes e . Então, vamos proceder com o cálculo de cada magnitude.

Ao multiplicar os resultados anteriores se obtém

Portanto, a área do quadrilátero é de 20.

Se e são um par de vetores não nulos, o ângulo formado entre eles é o único número real. que satisfaz

onde

e

Fazendo os cálculos correspondentes, temos que

Portanto,

e assim

Para calcular o ângulo que formam duas retas podemos usar a seguinte fórmula:

onde e as inclinações das retas são e respectivamente.

Uma vez que a equação da reta esteja escrita da forma , o coeficiente que acompanha , isso significa que , é a inclinação. Com isso em mente e representado e como a seguir

inferimos que e

Assim, na substituição, obtemos

Portanto .

Devemos lembrar que duas retas serão paralelas se tiverem a mesma inclinação. Portanto, para encontrar uma reta paralela a primeiro devemos conhecer sua inclinação.

Notamos que a definição de é equivalente a

e com esta expressão, podemos facilmente conhecer a inclinação dessa reta, pois é o coeficiente que acompanha a , ou seja .

Chamando de reta paralela a que passa pelo ponto e em sua inclinação, encontramos que onde é a inclinação de de .

Agora com as coordenadas de podemos fazer uso da equação ponto-inclinação da reta, que está descrita por .

Substituindo, entende-se que

Com estes cálculos podemos concluir que , com .

Para encontrar uma reta perpendicular a seguiremos o mesmo pensamento anterior, mas com uma condição diferente na inclinação; vamos nomear a reta perpendicular que desejamos encontrar. Neste caso sua inclinação deve satisfazer a condição para garantir sua perpendicularidade. Então , pois .

Usando mais uma vez a equação ponto-inclinação da reta e das coordenadas de , vamos ter que

E assim fica definida pela equação , onde .

Dado um segmento, sua mediatriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistante dos extremos. Em termos matemáticos isso vai se traduzir aos pontos que satisfazem a igualdade

para e extremos. Vamos levar em consideração que

e

Para encontrar a equação desejada, procedemos igualando essas equações e simplificando os termos.

e multiplicando a equação por podemos simplificar a equação ainda mais, ao obter a expressão

Considerando duas retas que se cruzam, a bissectriz do ângulo que formam é o lugar geométrico dos pontos no plano que ficam equidistantes a estas. Então, vamos procurar a equação que descreva aos pontos de forma que

Por outro lado, a fórmula da distância de um ponto a uma reta é dada pela expressão

Da fórmula anterior, vamos continuar com

e

Fazendo , vamos obter

E multiplicando esta última por entender que

Daqui, pelo valor absoluto, vamos obter duas equações:

e

onde cada uma vai descrever a equação, isso nos dará a equação das respectivas bissetrizes.

Para a primeira equação vamos obter

Enquanto que, para a segunda,

Vamos notar que a inclinação da reta é , pois, ao ser expressa na forma ,a inclinação é simplesmente o coeficiente que acompanha .

Se é a equação da reta perpendicular a que passa por Então, sua inclinação deve ser , pois o produto de ambas as inclinações deve dar como resultado -1, para obter a ortogonalidade.

Agora com as coordenadas de podemos fazer uso da equação ponto-inclinação da reta, que está descrita como

Substituindo, conclui-se que a equação procurada é

ou ao equivale a

Dadas duas retas que se cruzam, a bissetriz do ângulo que forma é o conjunto de pontos no plano que estão equidistantes delas. Portanto, estamos buscando a equação que descreve os pontos de forma que .

Desta forma,

e

Fazendo , obtemos

E multiplicando esta última por podemos concluir que

A partir disso, ao usar o valor absoluto, obtemos duas equações:

e

onde cada uma descreverá a equação das respectivas bissetrizes

Para a primeira equação, vamos ter

Enquanto que, para a segunda,

a.

Como as equações das retas se encontram em sua forma paramétrica, podemos identificar seus vetores diretores como os coeficientes que acompanham seus parâmetros . Isso significa que é vetor diretor de , e é vetor diretor de .

Aqui, recorrendo à fórmula do ângulo entre vetores:

podemos calcular o ângulo que estamos buscando.

Substituindo as coordenadas de

b.

Vamos perceber que os vetores diretores dessas retas são e respectivamente.

O ângulo formado entre eles é determinado pela expressão

a.

Como primeiro passo, devemos encontrar os vetores diretores de cada uma das retas e, em seguida, calcular o ângulo entre eles. Isso nos dará o ângulo entre e .

Uma reta descrita em sua equação cartesiana , tem como vetor diretor . Então para e temos vetores diretores e .

O ângulo determinado entre esses dois vetores é dado pela fórmula:

Substituindo os vetores diretores que encontramos, vamos ter

b.

Neste caso, os vetores diretores das retas e são e .

Vamos observar que

Isso significa que o ângulo entre e é de 90º, pois a condição é equivalente a que .

Sejam e os vetores diretores de e respectivamente, buscamos de forma que

assim, a fórmula anterior nos ajuda a encontrar o ângulo entre duas retas.

Substituindo as coordenadas dos vetores directores e , vamos obter

e elevando toda a equação ao quadrado

multiplicando por toda a equação

Através da fórmula geral para equações ao quadrado

podemos resolver a equação anterior.

Vamos lembrar que é o coeficiente do termo ao quadrado, o coeficiente do termo linear e o termo independente. Para o nosso caso, eles são determinados da seguinte maneira:

Portanto, usando a fórmula geral

Em seguida, obtemos que os possíveis valores para satisfazer a condição desejada são e

Para uma reta qualquer , expressa em sua forma canónica

tem como coordenadas do seu vetor diretor .

Por outro lado, sabemos que duas retas são perpendiculares se os seus vetores diretores são, ou equivalentemente se

onde . No nosso caso, o vetor diretor de é .

Se chamamos de a reta desejada, seguindo a condição do parágrafo anterior, deve-se obter que o vetor diretor de tem como coordenadas , e assim, .

Por outro lado, vamos recordar que a distância de um ponto a uma reta é possível de encontrar através da fórmula

Se o ponto resulta ser a origem, então a fórmula anterior vai ser reduzida a

Isso quer dizer que deve satisfazer a condição

Vamos observar que realmente existe um par de retas, que têm uma distância de em relação à origem e são paralelas entre si. É por isso que

E assim, as equações desse par de retas são dadas por .

Como primeiro passo, vamos calcular as equações das alturas do triângulo definido. Vamos chamar e às equações das retas que passam pelos pontos e respectivamente.

Para temos que , isso significa que a inclinação do segmento multiplicada pela inclinação de deve dar como resultado

Conhecendo as coordenadas dos pontos e podemos obter sua inclinação através da fórmula . Portanto

e

Com as coordenadas de , e a forma ponto-inclinação, podemos deduzir a equação da reta é . Então é a equação que define .

Simplificando esta última, temos que .

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos encontrar as equações restantes

Vamos começar pelas inclinações.

Em seguida, com a fórmula ponto-inclinação para

e para

Para encontrar as coordenadas do ortocentro basta encontrar a interseção de qualquer uma das duas alturas.

Resolvendo o sistema de equações lineares

encontramos que o ortocentro se encontra situado em

Como primeiro passo, vamos calcular os pontos médios dos lados do triângulo definido. Vamos chamar de aos pontos médios de , respectivamente

,

,

,

Vamos calcular as equações das medianas do triângulo definido. Vamos chamar e às equações das medianas que passam pelos pontos e respectivamente.

Ao conhecer as coordenadas dos pontos e podemos obter sua inclinação através da fórmula . Portanto

Com as coordenadas de , e a fórmula ponto-inclinação, podemos deduzir a equação da reta para . Então é a equação que define .

Simplificando esta última, obtemos que .

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos encontrar as equações que faltam.

.

.

Para encontrar as coordenadas do baricentro, basta encontrar a interseção de quaisquer duas medianas.

Resolvendo o sistema de equações lineares

encontramos que o baricentro está localizado em

Como primeiro passo, calculemos os pontos médios dos lados do triângulo definido. Vamos chamar de os pontos médios de , respectivamente

,

,

,

Vamos calcular as equações das mediatrizes do triângulo definido. Vamos chamar e às equações das mediatrizes que passam pelos pontos médios e respectivamente.

Ao conhecer as coordenadas dos puntos e podemos obter a inclinação dos lados através da fórmula e sabendo que a inclinação da sua perpendicular é o recíproco negativo da inclinação, vamos ter

Com as coordenadas de , e a forma ponto-inclinação, podemos deduzir a equação da reta para . Então é a equação que define .

Simplificando esta última, temos que .

Seguindo o mesmo raciocínio, podemos encontrar as equações restantes.

.

.

Para encontrar as coordenadas do circuncentro, é suficiente encontrar a interseção de quaisquer duas mediatrizes

Resolvendo o sistema de equações lineares

encontramos que o circuncentro está localizado em

Vamos chamar de à equação que descreve a reta sobre a qual repousa o segmento e o ponto .

Note que, ao ser mediatriz do segmento se satisfaz com , o que implica que onde e são as inclinações respectivas das retas e .

Do raciocínio anterior obtemos que , pois expressando em sua forma equivalente , sabemos que .

Com a equação ponto-inclinação, podemos encontrar a equação que descreve a reta que passa pelo ponto e tem inclinação . Basta reduzir a expressão e obter .

Agora, vamos observar que , o ponto de interseção entre e , Deve satisfazer ambas as equações, a que descrever e . É através deles que vamos encontrar as coordenadas de , basta resolver o sistema de equações

Resolvendo o sistema, obtemos que as coordenadas do ponto são . Além disso, é o ponto médio do segmento , o que matematicamente significa que

onde são as coordenadas de respectivamente.

Igualando coordenada por coordenada, vamos obter que

Substituindo os valores que já conhecemos de e concluimos que

e assim

Portanto, o extremo tem como coordenadas .

Vamos chamar de a equação que descreve a reta em que descansa o segmento e o ponto . Dadas nossas hipóteses, deve ser satisfeito que , isso implica que , onde e são as respectivas inclinações das retas. e .

Por outro lado, a equação de em sua forma explícita é , e desta maneira, a inclinação de é simplemente o coeficiente que acompanha x, ou seja . Com essa última parte, podemos concluir que .

Com a equação ponto-inclinação, podemos encontrar a equação que descreve a reta que passa pelo ponto e tem inclinação . Basta reduzir a expressão a

e obter

.

Agora, vamos observar que , o ponto de interseção entre e , deve satisfazer ambas equações: a que descreve e . É através deles que para encontrar as coordenadas de , basta resolver o sistema de equações

Resolvendo o sistema, obtemos as coordenadas do ponto são . Além do mais, é o ponto médio do segmento ,e em termos matemáticos, é equivalente a

donde são as coordenadas de respectivamente.

Igualando coordenada por coordenada, se obtém que

E substituindo os valores que já conhecemos de e se deduz que

e, assim

Portanto, o ponto simétrico tem como coordenadas .