Seja bem-vindo à nossa página dedicada a problemas e exercícios resolvidos sobre equações do segundo grau! Neste espaço, vamos explorar o universo dessas equações e oferecer ferramentas práticas para que você compreenda e resolva esse conteúdo essencial da matemática.
As equações do segundo grau (também conhecidas como equações quadráticas) fazem parte da base do estudo matemático e têm aplicações diversas em áreas como a física, a economia e a engenharia. Essas equações se caracterizam por apresentarem uma incógnita elevada ao quadrado e podem possuir uma ou duas soluções reais.
Aqui, você encontrará uma variedade de problemas: desde exercícios de fatoração, passando pela completação do quadrado, até a aplicação da fórmula de Bhaskara. Cada resolução será acompanhada de explicações claras, passo a passo, para que você compreenda não só o que fazer, mas por que fazer.
Além disso, vamos aplicar esses conhecimentos em situações do dia a dia, para mostrar como a matemática está presente em muitos contextos da vida real.
Nosso objetivo é ajudar você a entender melhor as equações do segundo grau, aprimorar suas habilidades de resolução de problemas e ganhar mais confiança em matemática. Prepare-se para mergulhar nesse conteúdo e descobrir como essas equações podem ser úteis e até divertidas!
Resolva as equações:
1 
Pode ser resolvida utilizando a fórmula de Bhaskara ou o método da fatoração. Aplicando o método da fatoração:
2
Aplicando o método da fatoração:
3
Aplicando o método da fatoração:
4
Aplicando o método da fatoração:
Resolva as equações:
1 
Aplicando o método da fatoração:
2
Escrevemos o segundo membro com denominador comum e realizamos o produto cruzado entre os membros da equação pelos denominadores. Em seguida, aplicamos o método da fatoração:
Resolva as equações:
1
Aplicando o método da fatoração:
2
Aplicando o método da fatoração:
Resolva as equações:
1
Primeiro, isolamos a raiz da equação. Em seguida, elevamos ambos os lados ao quadrado, desenvolvemos as potências e resolvemos a equação:
2 
Isolamos a raiz. Depois, elevamos ambos os membros ao quadrado, desenvolvemos os termos e resolvemos usando a fórmula de Bhaskara:
Encontre as raízes:
1
Utilizamos a divisão sintética, já que se trata de uma equação do terceiro grau. Os divisores de 
são 
Dessa forma:
Logo, a fatoração é: 
Portanto: 
2
Usamos a divisão sintética, já que se trata de uma equação de terceiro grau. Os divisores de 
são 
Assim,
Então, a fatoração é 
Ao calcular o discriminante do trinômio, conclui-se que ele não possui raízes reais, pois o resultado é negativo.
Portanto, há apenas uma solução real:
Utiliza-se a divisão sintética, pois a equação é do terceiro grau. Os divisores de 
são: 
Así:
Então, a fatoração é (x+2)(6x2−5x+1)=0(x + 2)(6x^2 - 5x + 1) = 0 
Resolve-se a equação quadrática pela fórmula de Bhaskara:
Resolva as equacões
1
Vamos construir a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares entre as linhas:
Então, 
Substituindo na matriz, obtemos: 
uma vez que:
2
Isolamos uma incógnita na primeira equação e substituímos na segunda. Depois, resolvemos a equação do segundo grau:
3
Isola-se uma das incógnitas na segunda equação e substitui-se a expressão obtida na primeira. Em seguida, resolve-se a equação do segundo grau.
4
Substitui-se a expressão que representa 
na segunda equação. Em seguida, eleva-se ao quadrado ambos os membros da equação e resolve-se.
Determine o valor de 
para que as soluções da equação 
sejam do mesmo valor.
Calcula-se o discriminante e iguala-se a zero. Assim, obtém-se uma raiz dupla.
Os valores possíveis do coeficiente do termo linear são: 
Encontre o valor de dois números cuja a soma seja cinco e cujo produto seja 
Os números são: 
e 
.
Determinar a idade de Pedro, sabendo que daqui a 
anos ele terá a metade do quadrado da idade que tinha há 
anos.
Se considerarmos como a idade atual de Pedro, então há anos ele tinha 
e daqui a anos terá 
:
Portanto, Pedro tem 
anos.
Para cercar uma fazenda retangular de 
foram utilizados 
de tela alambrado para cerca
Calcule as dimensões da fazenda.
Dividindo pela metade a quantidade de tela alambrado utilizada, obtemos o semiperímetro da fazenda, 
.
Portanto, o problema pode ser modelado com as expressões da imagem:
A fazenda tem as seguintes dimensões: 
e 
Os três lados de um triângulo retângulo são proporcionais aos números 
Calcule o comprimento de cada lado do triângulo sabendo que sua área é 
As medidas dos lados do triângulo são obtidas multiplicando-se por um fator os lados do triângulo retângulo da imagem. A partir da fórmula da área, pode-se encontrar esse fator:
Os lados do triângulo são: 
e 
Um jardim retangular de 
de largura por 
de largura está rodeado por um caminho de areia com largura uniforme.
Calcule a largura desse caminho, sabendo que ele possui uma área de 
Ao considerar uma largura do caminho de areia, temos um retângulo maior com dimensões 
por 
, conforme indicado na figura. Agora, expressamos a área do caminho de areia:
Portanto, a largura do caminho é de 
de largo.
Calcule as dimensões de um retângulo cuja diagonal mede 
, sabendo que ele é semelhante a outro retângulo de 
por 
Como o retângulo de por 
é semelhante ao retângulo de por 
o retângulo cuja diagonal é . Podemos assumir,também terá lados proporcionais, com um fator , conforme a imagem.
Se aplica el teorema de Pitágoras y se halla el valor de la incógnita. Aplicamos o teorema de Pitágoras para encontrar o valor da incógnita:
Portanto, o retângulo tem 
de largura.
Calcule dois números naturais cuja diferença seja dois e cuja soma dos quadrados seja 
Considerando que a diferença entre os dois números é dois, se representa um deles, o outro será 
Os números são 
e 
Duas mangueiras A e B enchem juntas uma piscina em duas horas. A mangueira A enche a piscina em três horas a menos que a mangueira B. Calcule quantas horas cada uma demora, individualmente, para encher a piscina.
Se a mangueira A demora horas para encher a piscina, então a mangueira B demorará 
horas para encher a piscina.
Assim, a cada hora, a mangueira A enche 
partes da piscina e a mangueira B enche 
partes da piscina. Como as duas mangueiras juntas enchem a piscina por completo, temos:
Assim, a mangueira A leva 
horas para encher a piscina sozinha e a mangueira B leva 
horas.
Determine dois números tais que o produto entre eles seja quatro e a soma de seus quadrados seja dezessete.
Vamos formular o sistema com duas incógnitas e resolver:
Os dois pares números possíveis são: 
e 
Encontre uma fração equivalente a 
cujos termos elevados ao quadrado somem: 
Vamos formular o sistema com duas incógnitas e resolver:
A fração que satisfaz a condição é:
, pois em 
são cancelados os sinais negativos e obtemos a primeira fração.
Um cliente pagou um total de R$ 
por 
l de leite, kg de presunto serrano e l de azeite de oliva.
Calcule o preço cada ítem, sabendo que 1 litro de azeite custa o triplo que 1 litro de leite e que 1 kg presunto serrano custa o mesmo que comprar 
litros de azeite mais l de leite.
Sejam 
os preços do leite, do presunto serrano e do azeite de oliva, respectivamente.
Forma-se o sistema de equações correspondente e resolve-se:
Portanto, o leite custa R$ 
litro, o presunto serrano R$ 
o quilo e o azeite de oliva, R$ 
o litro.
Uma locadora de filmes é especializado em filmes de três tipos: infantis, faroeste americano e terror. Sabe-se que:
dos filmes infantis mais 
dos de faroeste representam 
do total de filmes.
Determine o número de filmes de cada tipo, sabendo que há 
filmes a mais de faroeste do que infantis.
Sejam os filmes infantis, de faroeste e de terror, respectivamente.
Forma-se o sistema de equações correspondente e resolve-se:
Simplificando o sistema de equações, vamos ter:
A locadora de vídeos tem 
filmes infantis, 
faroeste e 
de terror.
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