Exercícios de integrais I

Integraremos esta função "por partes".

Lembramos que isso nos diz que:

Agora, decidimos qual parte da função será  e qual será . Neste caso, faremos da seguinte maneira:

e

Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes, temos:

Integraremos esta função "por partes".

Lembramos que isso nos diz que:

Agora, decidimos qual parte da função será e qual será . Neste caso, faremos da seguinte maneira:

e

Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes, temos:

Integraremos esta função "por partes".

Lembramos que isso nos diz que:

Agora, decidimos qual parte da função será e qual será . Neste caso, faremos da seguinte maneira:

e

Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes, temos:

Vamos aplicar novamente a integração por partes para integrar:

Neste caso   e  serão:

e

Por fim, aplicaremos novamente a integração por partes para integrar:

neste caso e serán

e

Substituindo tudo isso na primeira integral, temos:

Integraremos esta função "por partes".

Lembramos que isso nos diz que:

Agora, decidimos qual parte da função será e qual será . Neste caso, faremos da seguinte maneira:

e

Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes, temos que:

Integraremos esta função "por partes".

Lembramos que isso nos diz que:

Agora, decidimos qual parte da função será  e qual será . Neste caso, faremos da seguinte maneira:

e

Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes, temos que:

Integraremos esta função "por partes".

Lembramos que isso nos diz que:

Agora, decidimos qual parte da função será e qual será . Neste caso, faremos da seguinte maneira:

e

Substituindo esses valores na fórmula de integração por partes, temos que:

Voltamos a aplicar integração por parte para integrar:

Neste caso, e serão:

e

Substituindo tudo isso na nossa primeira integral, vemos que a integral que desejamos calcular aparece tanto no lado esquerdo quanto no lado direito, mas com sinal negativo. Portanto, o que precisamos fazer é isolar a integral que queremos encontrar, somando-a de ambos os lados da equação.

Para integrar esta função, primeiro precisamos simplificar a função:

Para simplificá-la e deixá-la em uma expressão fácil de integrar, aplicaremos frações parciais. Não explicaremos a fundo a teoria de frações parciais, mas tentaremos escrever cada passo para evitar qualquer confusão.

Dado que o denominador é um polinômio de ordem 1 elevado à terceira potência, temos que, em geral, nossa expressão pode ser escrita como:

para determinados números reais , e .

Para encontrar os valores dessas incógnitas, devemos realizar as somas e depois igualar os coeficientes dos termos de mesmo grau, ou seja,

Isso nos leva a:

Portanto, os numeradores são iguais:

E os coeficientes dos termos de mesmo grau também são iguais. Ou seja:

Da primeira igualdade, é direto que . Substituindo o valor de na segunda igualdade, temos:

Substituindo os valores de e na terceira igualdade, temos que:

Assim, temos que nossa função é igual a:

Agora, procedemos para integrar. Usaremos o método de mudança de variável. Para isso, usaremos:

Vamos fazer a integração usando 0 método de mudança da variável. Assim:

Note que, também, . Assim, substituindo na integral original:

Novamente, vamos fazer a integração usando o método de mudança de variável. Usamos:

Também note que  . Assim, substituindo na integral original:

Novamente, vamos fazer a integração usando o método de mudança de variável. Usamos:

Também note que, . Assim, substituindo na integral original:

Novamente, vamos fazer a integração usando o método de mudança de variável. Assim:

Agora, vamos isolar os diferenciais:

E substituímos na integral original:

Aplicaremos frações parciais para simplificar essa fração e expressá-la como uma soma de frações fáceis de integrar. Temos que:

Desenvolvendo a última soma, temos:

Igualando os numeradores, temos que:  daí, obtemos que:

Note que da primeira igualdade obtemos que , e da segunda,   , logo,

Portanto, temos que:

Fazendo a substituição na integral:

Agora, substituímos o valor de nos termos de , ou seja,

Vamos integrar por substituição trigonométrica. Dessa forma:

Substituindo esses valores na integral, temos:

Por fim, para reescrever isso em termos de  , note que ao fazer a substituição de , isolamos  a partir daqui:

Substituindo, temos:

Vamos integrar esta função usando o método de mudança de variável.

Assim:

Substituindo os valores na  integral, obtemos

Vamos simplificar a expressão dentro da integral usando frações parciais. Desta maneira:

O que nos dá o seguinte sistema de equações:

De onde temos , , , , e . Assim, a expressão fica dessa forma:

Fazendo a substituição na integral, temos:

Por fim, vamos escrever em termos de . Para isso, note que , portanto, , Substituindo, obtemos:

Vamos integrar usando o método de mudança de variável. Primeiro, note que:

O método de mudança de variável será:

Derivando,  podemos ver que:

Considerando que na integral temos , devemos expressar essa função em termos de  para poder substituir na integral em termos de . Vamos lembrar da seguinte identidade trigonométrica:

Ou seja, temos que:

Substituindo na integral, obtemos:

Vamos integrar usando o método de mudança de variável. Assim:

Do diferencial, obtemos que: . Agora, fazendo a substituição na integral, obtemos: