Exercícios resolvidos de inequações e seu conjunto de soluções

Procedemos a resolver a inequação. Lembre-se de que é muito parecido com isolar em uma igualdade, só que agora em vez de encontrar apenas um valor para nossa variável, vamos encontrar todo um domínio, muitas vezes formado por um intervalo ou por uniões e interseções de intervalos. Nossa inequação é:

Para resolver a equação, primeiro usaremos as propriedades distributivas e depois vamos isolar o

Note que , assim, sabemos que seu conjunto de solução é o intervalo .

A inequação que deve ser resolvida é a seguinte:

Para resolver, primeiro nos desfazemos das frações e depois isolamos o . Para nos desfazermos das frações precisamos do mínimo múltiplo comum dos denominadores, que é , assim, obteremos

Note que , assim, sabemos que seu conjunto de solução é o intervalo .

A inequação que deve ser resolvida é a seguinte:

Para resolver devemos fazer igual que nos exercícios anteriores, ou seja, precisamos aplicar a lei distributiva e, além disso, eliminar as frações

Note que , assim, sabemos que seu conjunto de solução é o intervalo .

Para resolver este sistema devemos resolver as inequações separadamente e depois encontrar os valores para os quais cumpra ambas inequações.

Começamos com a primeira inequação

a partir da primeira inequação sabemos que , ou seja, que pertence ao intervalo . Agora resolvemos a segunda inequação

a partir da segunda inequação sabemos que , ou seja, que pertence ao intervalo . Note que x deve cumprir ambas condições, isto é, e , Isso é equivalente a dizer que encontra-se na interseção dos intervalos e , assim, o conjunto de solução é

Começamos a resolver o exercício

Note que isto quer dizer que , no entanto, o produto é negativo apenas quando as expressões que são multiplicadas têm sinais contrários, isto é, temos dois casos principais. Um em que e , e outro caso em que e .

Avaliamos cada caso, começando pelo primeiro. Supomos que , então , além disso, sabemos que , então , isto é deve cumprir e , ou seja, deve pertencer à interseção dos intervalos e . Note que a interseção é vazia já que não há interseção nos intervalos, portanto, neste caso, não obteremos nenhuma solução.

Agora passamos para o segundo caso. Suponhamos que , então , além disso, sabemos que , então , isto quer dizer que deve cumprir e , ou seja, deve pertencer à interseção dos intervalos e . Note que a interseção é , este intervalo é a solução que procurávamos.

Resolvemos nossa inequação

Começamos a resolver o exercício

Note que para expressar como produto de expressões do primeiro grau devemos encontrar suas raízes. Para isso, utilizando a fórmula quadrática sabemos que

no entanto, note que temos a raiz quadrada de um número negativo, portanto as raízes do polinômio são ambos números complexos. Dito isso, como não podemos escrever o polinômio como um produto de expressões do primeiro grau com número real, para encontrar a solução vamos substituir por um número real qualquer que podemos escolher. Se a equação se cumpre, saberemos então que a solução é o conjunto dos números reais , no caso de não cumprir-se, então saberemos que não existe solução. Substituímos , assim

Como sabemos que , então o conjunto solução é .

Nossa inequação é:

Começamos a resolver o exercício

Note que ao final dividimos entre , isto porque ao ser uma expressão estritamente positiva, é impossível que , portanto . Agora, calculando as raízes de podemos escrever nossa inequação como

Isto quer dizer que , no entanto, o produto é positivo unicamente quando as expressões que podem ser multiplicadas têm o mesmo sinal, isto é, temos dois casos principais, Um em que e , e o outro em que e .

Avaliamos cada caso, começando pelo primeiro. Supomos que , então , além disso, sabemos que , então , isto é deve cumprir e , ou seja, deve pertencer à interseção dos intervalos e . Note que a interseção é , portanto, esta é uma solução.

Agora passamos para o segundo caso. Suponhamos que , então , além disso, sabemos que , então , isto quer dizer que deve cumprir e , ou seja, deve pertencer à interseção dos intervalos e . Note que a interseção é , este intervalo também é uma solução.

Assim, nossa solução final é a união das duas soluções individuais que encontramos, isto é, a solução final é .

Procedemos a resolver os exercícios

Isto quer dizer que , no entanto, o produto é negativo unicamente quando as expressões que podem ser multiplicadas têm sinais opostos, isto é, temos dois casos principais. Um em que e , e o outro em que e .

Avaliamos cada caso, começando pelo primeiro. Supomos que . Primeiro, de novo, devemos expressar este polinômio de segunda ordem como produto de expressões do primeiro grau, isto é

Para que isto seja positivo deve-se cumprir também que e sejam do mesmo sinal, isto é, que ambos sejam positivos ou ambos negativos. Supondo que ambos sejam negativos, sabemos que , então, e , então, , isto é equivalente a dizer que pertence à interseção dos intervalos e da qual é .

Agora supomos que e são positivos, sabemos que , então, e , então, , isto é equivalente a dizer que pertence à interseção dos intervalos e que é .

Assim, para que se cumpra devemos saber que pertence à união dos dois intervalos que encontramos previamente, isto é, que pertence a .

Como a suposição é de que , e também sabemos que , devemos expressar este polinômio de segunda ordem como produto de expressões do primeiro grau, isto é

Para que isto seja positivo, deve-se cumprir também que e tenham sinais opostos. Supondo que e sabemos que e respectivamente, isto é, pertencem à interseção dos intervalos e que é .

Agora supomos que e sabemos que e respectivamente, isto é, pertencem à interseção dos intervalos e da qual é vazia. Assim, a única forma de que é quando pertença ao intervalo

Tudo até aqui nos diz que para que se cumpra e , deve pertencer à interseção dos conjuntos que encontramos, e , que é .

Procedamos com nossa segunda suposição principal, que é e . Suponhamos que , primeiro, de novo, devemos expressar este polinômio de segunda ordem como produto de expressões do primeiro grau, isto é

Para que isto seja negativo deve-se cumprir também que e tenham sinais opostos. Supondo que e sabemos que e respectivamente, isto é, pertence à interseção dos intervalos e que é .

Agora supomos que e sabemos que e respectivamente, isto é, pertencem à interseção dos intervalos e da qual é vazia. Assim, a única forma de que é quando pertença ao intervalo

Também sabemos que , Devemos expressar este tipo de polinômio de segunda ordem como produto de expressões do primeiro grau, isto é

Para que isto seja positivo deve-se cumprir também que e tenham o mesmo sinal, isto é, que ambos sejam ou positivos ou negativos. Supondo que ambos são negativos, sabemos que , então, e , então, , isto é equivalente a dizer que pertence à interseção dos intervalos e que é .

Agora supomos que e são positivos, sabemos que , então, e , então, , isto é equivalente a dizer que pertence à interseção dos intervalos e que é .

Assim, para que se cumpra que devemos saber que pertence à união de dois intervalos que encontramos previamente, isto é, que pertence à .

Portanto, sabemos que para que se cumpra e , deve pertencer à interseção dos conjuntos que encontramos, e , que é vazia.

Nossa solução final seria a união das duas soluções para cada caso, no entanto, como a última solução é o conjunto vazio, nossa solução final é o conjunto .

Resolveremos a seguinte inequação:

Note que

Para que a fração seja igual a zero deve-se cumprir que o numerador seja igual a zero, isto é , portanto .

Sabemos que para que a fração seja estritamente negativa, deve-se cumprir que o numerador e o denominador tenham sinais opostos. Primeiro supomos que o numerador é positivo e o denominador negativo, portanto , isto é e , portanto , isto quer dizer que deve pertencer à interseção dos intervalos e , que é .

Agora supomos que o numerador é negativo e o denominador positivo, portanto , isto é e , portanto . Isto quer dizer que deve pertencer à interseção dos intervalos e , que é .

Tudo até aqui nos diz que para que se cumpra , devemos saber que deve pertencer à união dos dois intervalos que obtemos e o ponto . Portanto, o conjunto solução é