Bem-vindos à seção de Exercícios de Inequações de Primeiro Grau!
As inequações de primeiro grau são expressões algébricas que envolvem variáveis de primeira ordem e representam relações de desigualdade. Essas desigualdades são essenciais para modelar situações do mundo real em que as quantidades podem variar de forma contínua. Nesta série de exercícios, exploraremos o fascinante universo das inequações e sua aplicação na resolução de problemas práticos.
Ao longo desses exercícios, abordaremos conceitos importantes como a representação gráfica das inequações na reta numérica, a resolução de inequações simples e compostas, e a interpretação das soluções no contexto de situações do dia a dia. Esses problemas vão te ajudar a desenvolver habilidades fundamentais para compreender e trabalhar com inequações, uma ferramenta importante na álgebra e na modelagem de diferentes situações.
Inequações de uma variável
1 Retiramos os parênteses multiplicando o primeiro por 
e o segundo por 
:
Agrupamos os termos semelhantes
e mudamos o sentido da desigualdade
Determinamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores para eliminar os denominadores
O número 
é dividido por cada um dos denominadores, e o quociente obtido é multiplicado pelo numerador correspondente
Retiramos os parênteses multiplicando o primeiro por 
, o segundo por 
e o terceiro por 
:
Agrupamos os termos semelhantes.
Reduzimos os termos semelhantes.
Simplificamos dividindo por 
Dividimos os dois membros por 
Retiramos os parênteses multiplicando o primeiro por , o segundo por e o terceiro por 
:
Determinamos o mínimo múltiplo comum dos denominadores para eliminar os denominadores
O número 
é dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o quociente obtido pelo numerador correspondente.
Agrupamos os termos, simplificamos dividindo por e dividimos os dois membros por .
Removemos o colchete multiplicando por , de modo que o colchete passa a ser um parêntese.
Retiramos os parênteses multiplicando por 
Determinamos o mínimo múltiplo comum para eliminar os denominadores.
O número 
é dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o quociente obtido pelo numerador correspondente.
Agrupamos os termos semelhantes e realizamos as somas e subtrações indicadas.
Como o coeficiente de 
é negativo, multiplicamos por , de modo que o sentido da desigualdade se inverte.
1º Retirar os colchetes.
Removemos o parêntese multiplicando por 
, de modo que o colchete passa a ser um parêntese:
2º Retirar os parênteses.
Retiramos os parênteses multiplicando por :
3º Eliminar os denominadores.
Determinamos o mínimo múltiplo comum:
O número 
é dividido por cada um dos denominadores, multiplicando-se o quociente obtido pelo numerador correspondente.
Retiramos os parênteses multiplicando o primeiro por e o segundo por :
4º Agrupamos os termos em de um lado da desigualdade e os termos independentes do outro.
5º Efetuamos as operações.
6º Se o coeficiente de for negativo, multiplicamos por , de modo que o sentido da desigualdade se inverte.
Este passo sempre deve ser feito antes de isolar a incógnita.
7º Isolamos a incógnita, dividindo ambos os membros por .
Na prática, costuma-se dizer que o está multiplicando e passa para o outro membro dividindo 
.
Obtemos a solução como uma desigualdade, mas ela também pode ser expressa:
De forma gráfica
Como um intervalo
Calcule o valor indicado
Encontre os valores de 
para os que as raízes da equação 
sejam as duas reais e distintas.
Para que a equação tenha duas raízes reais e distintas, o discriminante 
deve ser maior que zero.
Resolvemos a inequação:
Multiplicamos por e mudamos o sinal da desigualdade.
Encontre os valores de para os que as raízes da equação sejam as duas reais e distintas.
Para que a equação tenha duas raízes reais e iguais, o discriminante deve ser igual a zero.
Resolvemos a equação:
Multiplicamos por e mudamos o sinal da igualdade.
Encontre os valores de para os que as raízes da equação 
sejam as duas reais e distintas.
Para que a equação tenha duas raízes reais e distintas, o discriminante
deve ser maior que zero.
Resolvemos a inequação:
Multiplicamos por e mudamos o sinal da desigualdade.
Encontre os valores de para que as raízes da equação 
sejam imaginárias.
Para que a equação tenha duas raízes imaginárias, o discriminante
deve ser menor que zero.
Resolvemos a inequação:
Multiplicamos por e mudamos o sinal da desigualdade.
Encontre os valores de para que as raízes da equação 
sejam imaginárias.
Precisamos que o discriminante satisfaça
< 0.
Ou seja, que:
4 − 4k < 0
4 < 4k
1 < k
Ou seja, toda a reta k > 1 faz com que a equação não tenha raízes reais.
Inequações de duas variáveis
1º Transformamos a desigualdade em igualdade.
2º Atribuímos dois valores à variável x, com os quais obtemos dois pontos.
latex[/latex]
3º Ao representar e unir esses pontos, obtemos uma reta.
Tomamos o ponto latex[/latex] e o substituímos na inequação.
Como a desigualdade se cumpre, a solução é o semiplano onde está o ponto latex[/latex], incluindo a reta, porque consideramos os valores menores e também os iguais.
Neste caso, desenhamos a reta com traço contínuo.
1º Transformamos a desigualdade em igualdade.
2º Atribuímos dois valores à variável x, com os quais obtemos dois pontos.
Tomamos o ponto latex[/latex] e o substituímos na inequação.
Como a desigualdade não se cumpre, a solução é o semiplano onde não está o ponto 
, sem incluir a reta, porque pegamos os valores menores.
Neste caso, desenhamos a reta com traço contínuo.
1º Transformamos a desigualdade em igualdade.
2º Atribuímos dois valores à variável , com os quais obtemos dois pontos.
latex[/latex]
3º Ao representar e unir esses pontos, obtemos uma reta.
Tomamos o ponto e o substituímos na inequação.
Como a desigualdade não se cumpre, a solução é o semiplano onde o ponto não se encontra.
Nesse caso (maior que, mas não igual), os pontos da reta não pertencem à solução.
Por isso, desenhamos a reta com traço descontínuo.
1º Transformamos a desigualdade em igualdade.
2º Damos à variável dois valores, com os quais obtemos dois pontos.
latex[/latex]
Tomamos o ponto 
e o substituímos na inequação.
Como a desigualdade não se cumpre, a solução é o semiplano onde o ponto não se encontra.
Nesse caso (maior que, mas não igual), os pontos da reta não pertencem à solução.
Neste caso desenhamos a reta com traço descontínuo.
Ao isolar 
, obtemos a desigualdade 
.
Lembrando que a reta 
tem coeficiente angular igual a 1 e passa pelos pontos 
e 
, essa desigualdade representa toda a região que fica acima dessa reta.
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