Bem-vindos à nossa página: onde integrais e cálculo de áreas ganham vida! Já se perguntou como medir superfícies curvas ou irregulares usando matemática avançada? Aqui, você vai aprender como usar integrais para calcular áreas de formas complexas: desde áreas simples sobre gráficos de funções até formas curvas mais elaboradas.
Com exemplos práticos e didáticos, vamos juntos explorar como aplicar as integrais no mundo real. Prepare-se para expandir seus conhecimentos e enxergar a beleza por trás das contas!
Aventure-se nesse universo fascinante e domine o cálculo de áreas com integrais. Vamos começar?
Encontre a área limitada pela reta 
, o eixo 
e as retas 
y 
.
a. Vamos fazer a representação gráfica das retas e do eixo indicados no enunciado e destacar a área solicitada.
b. Os limites da área solicitada são definidos pelas retas e . Por isso, representamos a reta em função da variável 
c. A área solicitada é determinada por:
d. Substituimos 
em função de e resolvemos a integral definida:
Calcule a área delimitada pela curva 
e pelo eixo .
a. Encontre os pontos de interseção com o eixo , tendo em consideração que esses serão os limites de integração. Por isso, igualamos a curva a zero e encontramos os valores de
Sendo assim, 
são os pontos onde a curva corta o eixo , conforme a representação gráfica a seguir:
b. A área solicitada é:
c. Substituímos em função de e resolvemos a integral:
Como a parábola é simétrica em relação ao eixo 
, a área será igual ao dobro da área comprendida entre 
Calcule a área do triángulo de vértices 
.
a. Vamos começar fazendo um gráfico dos pontos dados e destacar a área
b. Calculamos as inclinações das retas 
e 
para determinar suas equações.
c. A área solicitada está dividida em duas partes, uma para cada reta:
d. Sustituímos as retas em função de e resolvemos a integral definida:
Calcule a área limitada pelos gráfico de 
e 
.
a. Primeiro, vamos fazer a representação gráfica das curvas e destacar a área solicitada:
b. Calculamos os limites de integração encontrando os pontos de interseção das curvas:
assim, e 
são os limites de integração.
c. A área solicitada é dada pela integral da diferença entre as curvas:
d. Resolvendo a integral definida:
Calcule a área limitada pela curva 
, o eixo e as retas 
, 
.
a. Vamos fazer a representação gráfica das curvas e destacar a área solicitada:
b. A área destacada é definida por:
c. Substituimos em função de e resolvemos a integral definida:
Calcule área limitada pela curva 
e pela reta 
.
a. Fazemos o gráfico da curva e da reta e destacamos a área solicitada.
b. Calculamos os limites de integração, para isso buscamos os pontos de interseção das curvas:
assim, 
são os limites de integração.
c. A área solicitada é dada pela integral da diferença entre as duas curvas:
d. Resolvemos a integral definida, observando que a área é simétrica em relação ao eixo
Calcule a área delimitada pela parábola 
e pela reta que passa pelos pontos 
e 
.
a. Vamos fazer a representação gráfica da curva e da reta e destacar a área solicitada:
b. Calculamos a inclinação da reta e sua equação:
c. Calculamos os limites de integração, para isso, vamos buscar os pontos de interseção das curvas.
então, e são os limites de integração.
d. A área desejada é obtida pela integral da diferença dessas curvas:
e. Resolvemos a integral definida:
Determine a área limitada pelas retas 
e o eixo de abscissas.
a. Vamos representar as retas e destacar a área solicitada em um gráfico:
b. A área solicitada é determinada pela integral da região abaixo do eixo e da região acima desse eixo. Como a área abaixo do eixo é negativa, consideramos seu valor absoluto:
c. Resolvendo a integral definida:
Calcule a área limitada pela curva 
e o eixo de abscissas.
a. Faça uma representação gráfica da curva dada e destaque a área solicitada:
b. Calculamos os limites de integração e para isso, buscamos os pontos de interseção da curva com o eixo das abcissas
então, e são os limites de integração.
c. A área solicitada é determinada pela integral:
d. Resolvemos a integral definida:
Determine a área da região do plano limitada pelas curvas 
e os eixos coordenados.
a. Faça uma representação gráfica das curvas e destaque a área solicitada:
b. A área solicitada é determinada pela integral:
Observamos pela representação gráfica que, ao integrar em relação à variável , o cálculo se simplifica. Para isso, expressamos a curva em função de , ou seja,
E a área solicitada pode ser expressa como:
c. Resolvemos a integral definida:
Calcule a área da região do plano limitada pelo círculo 
.
a. Essa é a representação gráfica da curva dada. Observe que a área solicitada é igual a quatro vezes à área do primeiro quadrante.
b. Vamos expressar a parte do círculo que está no primeiro quadrante em função de
c. A área solicitada é determinada por:
d. Resolvemos a integral definida, para isso, utilizamos a substituição trigonométrica 
em que a diferencial é 
com os seguintes limites de integração:
Substituímos os valores de 
em termos de 
Encontre a área de uma elipse de semieixos 
e 
.
a. Representamos graficamente a elipse centrada na origem e com os semieixos dados
Observamos que a área solicitada é igual a quatro vezes a área do primeiro quadrante.
b. Expressamos a parte da elipse que está no primeiro quadrante em função de
c. A área solicitada é dada por:
d. Para resolver a integral definida, usamos a substituição trigonométrica: 
cuja diferencial é 
com os seguintes limites de integração:
Substituimos os valores de em termos de
Calcule a área da região do plano limitada pelas raízes da curva 
e o eixo .
a. Representação analítica e gráfica da curva e localizamos a área em destaque:
b. Calcule as raízes da curva
então 
e 
são as raízes da curva.
c. A área solicitada é determinada por:
d. Resolvemos a integral definida:
Encontre a área da figura limitada por 
.
a. Represenção gráfica da curva e destaque da área solicitada
b. Calculamos a interseção entre a reta e a parábola
portanto e 
são as coordenadas das abscissas onde as duas curvas se interceptam.
c. A área solicitada é determinada em duas partes. Na primera, a reta está em cima da parábola e, na segunda, a parábola está por cima da reta.
Dessa forma, a área solicitada é dada por:
d. Resolvendo as integrais definidas:
Calcule a área da região plana limitada pela parábola 
e pelas retas tangentes à curva nos pontos de interseção com o eixo .
a. Encontramos a interseção com o eixo
portanto e 
são as raizes, e os pontos de interseção são: 
.
b. Encontramos a equação da reta tangente em 
Encontramos a equação da reta tangente em 
A interseção e as duas retas se encontram em 
c. Representação gráfica da curva com as tangentes indicadas e a área solicitada destacada.
d. A área solicitada é determinada em duas partes. A primeira reta (com inclinação para cima) fica por cima da parábola, e a segunda reta (com inclinação para baixo) também fica por cima da parábola.
Dessa forma, a área solicitada é determinada por:
e. Resolvemos as integrais:
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