Exercícios: equação de elipse

Estamos buscando que soma entre as distâncias e seja sempre igual a , ou seja,

Portanto, temos que:

Uma vez que isolamos a raiz, vamos obter:

Logo, elevando ao quadrado, vamos ter:

Podemos observar que o termo está presente nos dois lados da equação. Assim, podemos cancelá-lo, e ficamos com:

Se expandirmos os dois binômios ao quadrado, teremos:

Em seguida, reagrupando os termos semelhantes , e dividindo a equação por  —, obtemos:

Já eliminamos uma das raízes. Para eliminar a outra, repetimos o procedimento: elevamos a expressão ao quadrado, expandimos os binômios ao quadrado e reagrupamos os termos:

ou seja,

Sabemos que o semieixo maior é a distância entre o centro e o vértice , ou seja,

Da mesma forma, a semidistância focal é a distância entre o centro e o foco da elipse que corresponde à metade da distância entre os dois focos —, ou seja,

Por fim, o semieixo menor é calculado por meio da fórmula:

Assim, a equação reduzida da elipse é dada por:

Descreveremos detalhadamente o primeiro item. Os demais serão apresentados de forma mais resumida.

Sabemos que o semieixo maior é a distância entre o centro e o vértice , ou seja,

Da mesma forma, a semidistância focal é a distância entre o centro e o foco — ou seja, a metade da distância entre os dois focos:

Por fim, o semieixo menor é calculado por:

Assim, a equação reduzida da elipse é dada por:

Considerando as próximas equações:

Obtemos que:

Portanto, o semieixo menor é dado por:

Assim, a equação reduzida da elipse é:

Observe que, neste caso, dividimos por em vez de . Isso ocorre porque o eixo maior é vertical (note que os pontos , e têm o mesmo valor na coordenada ).

Observe que as coordenadas dos três pontos é a mesma. Portanto, o eixo maior é vertical. Assim, temos:

Portanto, el semieixo menor está dado por:

Dessa forma, a equação reduzida da elipse é:

Podemos notar agora que são as coordenadas as que estão fixas em cada ponto. Deste modo, o eixo maior da elipse será horizontal. Assim, obtemos que:

Além disso:

Portanto, a equação será:

Observe o gráfico abaixo:

Sabemos que a distância focal deve ser . Deste modo, la semidistância focal é:

Assim, a distância do centro de qualquer foco. Deste modo, a distância entre a centro e o vértice será:

Com esses dados, vamos obter:

E portanto, a equação da elipse é:

Como a elipse tem centro na origem, sua equação reduzida será da forma:

Além disso, sabemos que a elipse passa pelo ponto . Isso significa que esse ponto deve satisfazer a equação da elipse. Substituindo os valores, temos:

Isolamos , obtemos: . Logo, uma vez que  , temos que:

Agora, utilizamos a fórmula da excentricidade, que é dada por:

Se elevamos ao quadrado:

Multiplicamos a equação por , e em seguida por para obter:

Reagrupando os termos:

Ou seja, .

Portanto, a equação reduzida da elipse é:

Como a elipse tem centro na origem, sua equação reduzida será da forma:

Além disso, como o eixo meno tem a medida de , então o semieixo menor é: 

Logo, como a elipse passa pelo ponto , então deve satisfazer a equação:

Isolando obtemos:

De forma que:

Assim, a equação reduzida da equação da elipse é:

Conhecemos a distância focal, que é de . Portanto, a semidistância focal é:

Mesmo assim, a soma das distâncias de qualquer ponto entre os focos sempre sera constante. Esta distância coincide com o eixo maior, de modo que:

Finalmente, o semieixo meienor::

Assim, a equação reduzida da elipse é:

Como a elipse passa por ambos os pontos, então deverá satisfazer o seguinte sistema de equações:

Trata-se de um sistema não linear com dois incógnitas (no link você aprende como resolvê-lo). Neste caso, utilizamos uma mudança de variável:

A solução do sistema é:

Para fazer a verificação, substitua os valores de e no sistema não linear original.

Portanto, a equação da elipse é:

A distância focal é . Portanto, temos que:

Além disso, os semieixos maior e menor satisfazem a relação clássica entre , e dada por:

Por outro lado, temos um retângulo cujos lados medem y . A área desse retângulo é:

Portanto, precisamos resolver o seguinte sistema de equações não lineares:

Esse sistema não linear pode ser resolvido isolando na segunda equação e substituindo seu valor na primeira. Dessa forma, obtemos uma equação do quarto grau com potências pares. A solução do sistema é:

Portanto, a equação da elipse é:

Determine os elementos característicos e a equação reduzida da elipse com os focos: e , e com eixo maior que mede .

Semieixo maior

Temos que , portanto, o semieixo maior é .

Semidistância focal:

Aqui temos que a distância entre os dois focos é de . Dessa forma, a semidistância focal é .

Semieixo menor

Temos que onde é o semieixo menor. Deste modo,

Assim, o semieixo menor mede .

Equação reduzida

Uma vez que temos os valores de e , bem como o do centro —que é dado pelo ponto médio dos focos, ou seja, —, então a equação reduzida está dada por:

Excentricidade:

Por fim, a excentricidade da elipse é dada por:

Pela forma da equação, sabemos que a elipse tem centro na origem. Além disso, temos:

os vértices tem as coordenadas 

e o eixo maior está sobre o eixo  . Os covértices se encontram em:

Logo, temos que a semidistância focal é:

Deste modo, os focos se encontran em:

Finalmente, a excentricidade se encontra mediante:

A partir da equação, concluímos imediatamente que o centro da elipse está no ponto . Além disso, os semieixos menor e maior são:

Portanto:

Deste modo, os vértices se encontram em , ou seja,

Logo, os focos estão em:

Os covértices se encontram nos pontos:

O centro está na origem. O semieixos menor e maior são:

Desta maneira, os vértices estão em:

Os covértices se encontram nos pontos:

A semidistância focal é:

E os focos estão em:

Finalmente, a excentricidade está:

Primeiro, vamos escrever a equação de forma reduzida e então dividir por :

Logo, a partir da equação, conclui-se que o centro está na origem, ou seja,  , e que

E que os vértices se encontram em:

e os covértices estão em:

Além disso, a semidistância focal é:

Assim, os focos se encontram em:

Finalmente, a excentricidade é dada por:

A equação já está em sua forma reduzida.Da equação, pode-se observar que o centro da elipse está no ponto . Além disso, os semieixos menor e maior são dados por:

A semidistância focal é dada por:

Observe que o eixo maior está sobre o eixo . Deste modo, os vértices se encontram em:

Os covértices estão em:

E os focos estão nos pontos:

Finalmente, a excentricidade está dada por:

Por último, temos uma equação que ainda não está em sua forma reduzida. Primeiro, dividimos por para obter:

A partir da equação temos que:

Além disso, observamos que o eixo maior está sobre o eixo . Deste modo, os vértices estão:

Os covértices estão nos pontos:

E os focos estão localizados em:

Por último, a excentricidade é:

Para determinar os pontos importantes da elipse, precisamos escrever sua equação na forma reduzida. Para isso, utilizamos o método de completar quadrados.

Em seguida, dividimos por ,

Deste modo, é possível ver que o centro está em . Além disso, também é possível identificar que:

Logo, o eixo maior é horizontal, e os vértices se encontram em:

E os covértices em:

E os focos se encontram em:

Vamos completar o quadrado novamente:

Em seguinda, dividimos por ,

Daqui, é possível ver que o centro está . Além disso, podemos identificar que:

Logo, o eixo maior é vertical, uma vez que vértices se encontram em:

Os covértices se encontram em:

E os focos em:

Completamos o quadrado de novo:

E em seguida, dividimos por ,

Deste modo, é possível ver que o centro está em e identificar que:

Logo, o eixo maior é horizontal, uma vez que os vértices se encontram em:

Os covértices se encontram em:

E os focos em:

Vamos completar o quadrado de novo:

Em seguida, dividimos por ,

É possível ver que o centro está em . Além disso, é possível identificar que:

Logo, o eixo maior é vertical, já que os vértices se encontram em:

Os covértices se encontram em:

E os focos se encontram em

Primeiro, observe o gráfico da reta e da elipse:

A partir de la figura podemos deduzir que devemos encontrar as coordenadas dos pontos e . Logo, está será o ponto médio dos dois.

Encontrar as coordenadas de e é o equivalente a resolver o sistema não linear de equações dado por:

Este sistema também é resolvido por substituição. As soluções são dadas por:

Portanto, o ponto médio da corda está dado por