Exercícios resolvidos sobre as equações trigonométricas

Para resolver as seguintes equações trigonométricas, é necessário recordar a propriedade da função inversa:

=x

 

1  

 

Para resolver essa equação, isolamos a variável x e utilizar a propriedade da função inversa:

 

 

Consultando a tabela, encontramos o valor de

Nos posicionamos no eixo y (o eixo do seno), localizamos o valor no eixo,e, por fim, observamos os pontos que atravessam a circunferência e passam por . Esses valores serão o resultado da equação:

 

 

 

 

2

 

Isolamos o x, utilizamos a propriedade da função inversa:

 

 

Na tabela, vemos que a tangente de

Nos posicionamos no eixo do cosseno, ou seja, no eixo x, agora localizamos o valor eno eixo, e, por fim, nos deslocamos até os pontos que atravessam a circunferência e passam por . Esses valores serão o resultado da equação:

 

 

 

 

3  

 

Isolamos a variável x, fazendo uso da propriedade do inverso:

 

 

 

Na tabela, visualizamos uma tangente de altura zero, obviamente ao buscar o valor no círculo unitário, encontramos que corresponde a zero graus, então:

 

 

 

4

 

Isolamos a variável x, fazendo uso da propriedade do inverso:

 

 

 

Localizamos na tabela o valor para

Nos posicionamos no eixo do seno, ou seja, no eixo y, agora localizamos o valor no eixo, e, por fim, nos deslocamos até os pontos que atravessam a circunferência e passam por . Esses valores serão o resultado da equação:

 

 

 

5

 

Isolamos a variável x, fazendo uso da propriedade do inverso:

 

 

 

Localizamos na tabela o valor para

Nos posicionamos no eixo do cosseno, ou seja, no eixo x, agora localizamos o valor eno eixo, e, por fim, nos deslocamos até os pontos que atravessam a circunferência e passam por .Esses valores serão o resultado da equação:

 

 

 

6  

 

Isolamos a variável x, fazendo uso da propriedade do inverso:

 

 

 

Este exercício foi mostrado no exemplo no início da lição, onde podemos observar a representação gráfica.

Visualizamos uma reta tangente de altura , traçamos uma linha dessa altura até a origem e observamos o ponto de interseção com a circunferência, buscamos o valor desse ponto no nosso círculo unitário e obtemos o valor da equação:

 

 

 

 

 

7

 

Isolamos a variável x, fazendo uso da propriedade do inverso:

 

 

 

Localizamos na tabela o valor para

Nos posicionamos no eixo do seno, ou seja, no eixo y, agora localizamos o valor no eixo, e, por fim, deslocamos até os pontos que atravessam a circunferência e passam por . Esses valores serão o resultado da equação:

 

 

 

8  

 

Isolamos a variável x, fazendo uso da propriedade do inverso:

 

 

 

Localizamos na tabela o valor para

Nos posicionamos no eixo do cosseno, ou seja, no eixo x, agora localizamos o valor  no eixo, e, por fim, deslocamos até os pontos que atravessam a circunferência e passam por . Esses valores serão o resultado da equação:

 

 

 

9

 

Isolamos a variável x, fazendo uso da propriedade do inverso:

 

  , traçamos uma linha dessa altura até a origem e observamos o ponto de interseção com a circunferência, buscamos o valor desse ponto no nosso círculo unitário e obtemos o valor da equação:

 

 

Nos posicionamos na coordenada , traçamos uma linha dessa altura até a origem e observamos o ponto de interseção com a circunferência, buscamos o valor desse ponto no nosso círculo unitário e obtemos o valor da equação: visualizamos uma reta tangente de altura , traçamos uma linha dessa altura até a origem e observamos o ponto de interseção com a circunferência, buscamos o valor desse ponto no nosso círculo unitário e obtemos o valor da equação:

 

 

 

 

10  

 

Isolamos a variável x, fazendo uso da propriedade do inverso:

 

 

Nos posicionamos no eixo do seno, ou seja, no eixo y, agora localizamos o valor no eixo, e, por fim, nos deslocamos até os pontos que atravessam a circunferência e passam por . Esses valores serão o resultado da equação:

 

 

11  

 

Localizamos na tabela o valor para:

nos posicionamos no eixo do seno, ou seja, no eixo y, agora localizamos o valor o eixo, e, por fim, nos deslocamos até os pontos que atravessam a circunferência e passam por . Esses valores serão o resultado da equação:

 

 

 

12  

 

Isolamos a variável x, fazendo uso da propriedade do inverso:

 

 

Localizamos na tabela o valor para

Nos posicionamos no eixo do cosseno, ou seja, no eixo x, agora localizamos o valor o eixo, e, por fim, nos deslocamos até os pontos que atravessam a circunferência e passam por . Esses valores serão o resultado da equação:

 

 

13  

 

Isolamos a variável x, fazendo uso da propriedade do inverso:

 

 

Localizamos na tabela o valor paraa 

Nos posicionamos no eixo do seno, ou seja, no eixo y, agora localizamos o valor no eixo, e, por fim, nos deslocamos até os pontos que atravessam a circunferência e passam por , no eixo, e, por fim, nos deslocamos até os pontos que atravessam a circunferência e passam por 

Para resolver a equação, buscaremos na tabela os valores de

 

Temos 2 possibilidades. Vamos substituir para a primeiro opção:

 

 

Isolamos a variável:

 

 

 

Agora, para a segunda possibilidade. Fazemos a substituição:

 

 

Isolamos a variável:

 

 

Usando as identidades trigonométricas, vamos simplificar a equação de função a seguir, usando seno, cosseno ou tangente.

 

Vamos usar a identidade trigonométrica 

 

 

Dessa vez, vamos utilizar a identidade trigonométrica: 

 

 

Simplificamos:

 

 

Realizamos a subtração de frações, utilizando o produto cruzado para obter:

 

 

Simplificamos:

 

 

Convertemos a unidade em uma fração equivalente com o mesmo denominador:
 
  

 

Substituimos e simplificamos:

 

 

 

Agora multiplicamos ambos os membros da equação por

 

De um lado temos:

 

 

Ao simplificar, vamos obter:

 

Do outro lado, temos:

lo cual claramente es igual a cero

 

Então:

 

 

Vamos a fatorização:

 

 

Agora temos 2 possibilidades:

 

Primeiro caso: isolando o primeiro termo

 

 

 

Para este caso, dividiremos ambos os membros por

 

 

 

 

Utilizaremos a identidade

 

 

Isolamos a variável:

 

 

 

 

 

Segundo caso: isolando o segundo termo

 

 

 

Para este caso, dividiremos ambos membros por

 

 

 

 

Utilizaremos a identidade

 

 

Isolamos a variável:

 

 

Agora buscamos o valor no nosso círculo unitário, como fizemos anteriormente.
  
 

Podemos observar claramente que a equação tem a forma:

 

 

Ou seja, uma equação do segundo grau que pode ser resolvida pela fórmula geral:

 

 

Substituímos:

 

 

 

Caso 1:

 

 

 

Isolamos a variável:

 

 

Localizamos o valor no círculo unitário:

 

 

Caso 2: 

 

 

 

 

Isolamos a variável:

 

 

Localizamos o valor no círculo unitário:

 

Utilizaremos a identidade trigonométrica fundamental seguinte:

 

 

Substituímos na equação:

 

 

 

Somamos os termos semelhantes:

 

 

Isolamos a variável:

 

 

 

 

 

Usaremos a identidade trigonométrica para ângulos duplos:

 

 

Das 3 opções que temos, utilizaremos a primeira

 

Substituímos na nossa equação:

 

 

 

Agora utilizaremos a identidade trigonométrica fundamental seguinte:

 

 

Substituímos na equação:

 

 

 

Igualamos a equação a zero e simplificamos os termos semelhantes:

 

 

 

Agora vamos factorar:

 

 

Observamos que geramos 2 casos.

 

Caso 1:

 

 

 

Caso 2:

 

Como podemos observar no círculo unitário, os valores das funções seno e cosseno estão no intervalo [-1,1], então, 

não existe, portanto, este caso não tem solução.

 

Sem solução.

Usaremos a identidade trigonométrica para a soma de ângulos:

 

 

Substituímos os valores do exercício na identidade trigonométrica:

 

 

 

Simplificamos termos semelhantes:

 

 

 

 

Para que a equação seja igual a zero, é claro que um dos dois termos deve ser igual a zero:

 

Caso 1:

 

Caso 2:

 

Resolvendo caso 1:

 

 

Isolamos a variável e resolvemos a propriedade da função inversa :

 

 

Observando o círculo unitário sabemos que:

 

 

Resolvendo a equação para 

 

 

Isolamos a variável e resolvemos:

 

 

 

 

 

 

 

Resolvemos a equação para

 

 

Isolamos a variável e resolvemos:

 

 

 

 

 

 

 

Isso significa que, se a variável x tomar qualquer um desses 2 valores, então a equação será igual a 0 e, portanto, a equação será satisfeita.

 

Resolvendo caso 2:

 

 

Isolamos a variável aplicando a propriedade da função inversa:

 

 

Observando o círculo unitário, sabemos que:

 

 

Resolvemos a equação para

 

 

Isolamos a variável e resolvemos:

 

 

 

 

Resolvemos a equação para

 

 

Isolamos a variável e resolvemos:

 

 

 

 

 

Isso significa que, se a variável x tomar qualquer um desses 2 valores, então a equação

será igual a 0 e, portanto, a equação será satisfeita.

 

Conclusão:

 

Os valores que a variável x pode tomar e que são soluções para a equação são:

 

Para este caso, usaremos uma identidade trigonométrica de ângulos duplos:

 

 

 

O primeiro passo será multiplicar toda a nossa equação por -1:

 

 

 

Agora, ordenamos de forma que fique mais parecido com nossa identidade trigonométrica:

 

 

Usamos a identidade, substituindo os valores da nossa equação:

 

 

Para isolar a variável, é necessário usar a propriedade da função inversa:

 

 

 

Buscando no círculo unitário, encontraremos que:

 

 

Resolvendo para :

 

 

Isolamos a variável:

 

 

Resolvendo para :

 

 

Isolamos a variável:

 

 

Os valores que a variável x pode tomar e que são soluções para a equação são:

 

Usaremos a identidade trigonométrica da soma de cossenos:

 

 

Substituímos:

 

 

 

A equação fica da seguinte forma:

 

 

Dividimos ambos os lados da equação por 2:

 

 

Dividimos ambos os lados da equação por cos(x):

 

 

Aplicamos a propriedade da função inversa:

 

 

 

Isolamos a variável:

 

 

 

A equação é satisfeita quando

Para este caso, utilizaremos a identidade trigonométrica localizada na seção de "Identidades trigonométricas para ângulos duplos":

 

 

Vamos substituir com os valores da nossa equação para obter:

 

 

Então, nossa equação ficará da seguinte forma:

 

 

Igualaremos a equação a zero:

 

 

Realizamos a soma das frações usando o produto cruzado:

 

 

Eliminamos o denominador multiplicando ambos os lados da equação por :

 

 

Realizamos o produto indicado:

 

 

Agrupamos termos semelhantes e os somamos:

 

 

Fatoramos usando como fator comum:

 

 

Agora, dividimos ambos os lados da equação por e obtemos:

 

 

Multiplicamos por -1 ambos os lados da equação e ordenamos para resolver como uma equação de segundo grau:

 

 

 

 

Aplicamos a propriedade da função inversa:

 

 

 

Primeiro, subtraímos de ambos os lados:

 

 

 

Agora, elevamos ambos os lados ao quadrado:

 

 

Igualamos a equação a zero:

 

 

Resolvemos os quadrados, para o que usamos a fórmula do binômio ao quadrado:

 

 

 

Utilizamos a identidade trigonométrica fundamental.

 

 

Substituimos

 

 

Simplificamos:

 

 

 

Simplificamos os termos semelhantes:

 

 

Fazemos uma substituição de variável:

 

Seja

 

Substituimos:

 

 

Observamos que trata-se de uma equação do segundo grau que podemos resolver pela fórmula geral:

 

 

Substituimos:

 

 

Resolvemos:

 

 

 

 

 

 

 

Desfazemos a substituição de variável:

 

 

Aplicamos a propriedade da função inversa:

 

 

 

Agora, devemos apenas localizar o valor na na tabela do círculo unitário:

 

 

A equação é satisfeita quando x assume qualquer um desses 2 valores.

Para este caso, utilizaremos a identidade trigonométrica para ângulos duplos:

Buscamos no círculo unitário o valor correspondente a  :

 

 

Substituimos:

 

 

Aplicamos a propriedade da função inversa:

 

 

 

Localizamos os valores correspondentes no círculo unitário:

 

 

 

Portanto:

 

 

Isolamos a variável dividindo por 2:

 

 

A equação é satisfeita quando x assume qualquer um desses 2 valores.
 
 
 

Usaremos la siguiente identidad trigonométrica para ángulos dobles:

 

 

Antes de fazer a substituição, vamos obteruma  variante dividindo por 2 cada lado de la identidade:

 

 

Substituimos:

 

 

Simplificamos realizando a divisão indicada:

 

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

 

Aplicamos a propeiedade de função inversa:

 

 

 

Localizamos o valor para no círculo unitário:

 

 

Substituimos para ambos casos:

 

Caso 1:

 

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

 

Isolamos a variável, somando 30° em ambos os lados da equação:

 

 

Caso 2:

 

 

Dividimos ambos lados por 2:

 

 

Isolamos a variável, somando 30° em ambos os lados da equação:

 

 

A equação é satifeita quando:

 

 utilizaremos a identidade trigonométrica básica:

 

 

Substituimos:

 

 

 

Eliminamos o denominador multiplicando ambos os lados da equação por

 

 

Agora, utilizaremos a identidade trigonométrica fundamental:

 

 

Substituimos:

 

 

Aplicamos a distributiva:

 

 

Igualamos a zero e ordenamos:

 

 

Multiplicamos toda a expressão por

 

 

Realizamos uma substituição de variável, onde:

 

 

Substituimos:

 

 

Resolvemos pela fórmula geral para equações do segundo grau:

 

 

 

 

 

Desfazemos a substituição de variável:

 

 

Caso 1:

 

 

 

 

Aplicamos a propriedade da função inversa:

 

 

 

Localizamos o valor correspondente no círculo unitário:

 

 

 

Caso 2:

 

 

 

 

Aplicamos a propriedade da função inversa:

 

 

 

Como sabemos e podemos observar no círculo unitário, a função seno não está definida para valores maiores que 1, nem menores que -1, portanto este caso não tem solução.

 

A equação é satisfeita quando:

 

Usaremos a identidade trigonométrica para ângulos duplos:

 

 

Substituimos:

 

 

Portanto:

 

 

Simplificamos:

 

 

Igualamos a equação a zero:

 

 

Fatoramos:

 

 

 

 

Extraímos o termo comum :

 

 

Agora vamos fatorar a parte dentro do colchete:

 

 

Reescrevemos o 3 como

 

 

Ordenamos para poder aplicar a diferença de quadrados:

 

 

 

Aplicamos a lei dos sinais :

 

 

Agora podemos aplicar a diferença de quadrados:

 

 

Lembre-se que este é o resultado da parte do colchete que tínhamos acima, vamos substituí-la na nossa equação agora que já está fatorada:

 

 

É claro que, para que a equação seja satisfeita, basta que um dos colchetes dê como resultado zero. Então, temos 3 casos:

 

Caso 1, quando

 

Dividimos por 2 ambos os membros da equação:

 

 

 

Localizamos no círculo unitário:

 

 

Caso 2, quando

 

Dividimos ambos os membros por cos x e usamos a identidade trigonométrica básica da tangente:

 

 

 

 

Isolamos a variável:

 

 

 

 

 

Caso 3, quando

 

Este caso é bem semelhante ao Caso 2:

 

 

 

 

 

 

A equação é satisfeita quando x assume um dos seguintes valores:

 

 

Igualamos a equação a zero:

 

 

Aplicamos uma substituição de variável, onde

 

Substituimos:

 

 

Usamos a seguinte identidade trigonométrica para ângulos duplos:

 

 

Substituímos a variável na identidade:

 

 

Substituímos o que obtivemos na nossa equação:

 

 

Desenvolvemos:

 

 

Somamos termos semelhantes e ordenamos:

 

 

 

Realizamos outra substituição de variável, seja

 

 

Resolvemos pela fórmula geral para equações do segundo grau:

 

 

 

 

 

 

Desfazemos a última substituição de variável:

 

 

 

Localizamos os valores no círculo unitário e temos que:

 

 

Agora, desfazemos a primeira substituição de variável:

 

 

Isolamos a variável, multiplicando por 2:

 

 

A equação é satisfeita quando x assume qualquer um desses 2 valores.