Bem-vindo ao fascinante mundo da elipse, uma figura geométrica que tem encantado matemáticos e cientistas por séculos. Nesta coleção de exercícios e problemas, você explorará os segredos e as propriedades da elipse.
A elipse é muito mais do que uma simples forma ovalada. Trata-se de uma curva com propriedades únicas que a tornam indispensável em diversas áreas do conhecimento. Através desses desafios, você se aprofundará no estudo de sua equação, seus elementos característicos como os focos e vértices e as relações entre seus diferentes parâmetros.
Seja você um estudante que está começando a se familiarizar com o mundo da elipse ou um entusiasta de matemática em busca de desafios mais complexos, esta coleção fornecerá uma base sólida para compreender e aplicar os princípios da elipse em diversas situações. Prepare-se para aprimorar seu raciocínio analítico!
Elementos da elipse
Represente graficamente e determine as coordenadas dos focos, dos vértices e a excentricidade das seguintes elipses.
1 Eixo maior
A equação da elipse já está na forma canônica, então podemos calcular o valor do semi-eixo maior:
Com isso, podemos encontrar os vértices que formam o eixo maior:
2 Eixo menor
O valor do semi-eixo menor é:
Portanto, os vértices que estão no eixo menor são:
3 Focos
Agora, vamos calcular o valor da distância semifocal:
Com esse valor, podemos localizar os focos da elipse:
4 Excentricidade
A excentricidade da elipse é o quociente entre a distância semifocal e o semi-eixo maior:
5 Gráfico
1 Eixo maior
A equação da elipse já está na forma canônica, então podemos calcular o valor do semi-eixo maior:
Com isso, podemos encontrar os vértices que formam o eixo maior:
2 Eixo menor
O valor do semi-eixo menor é:
Portanto, os vértices que estão no eixo menor são:
3 Focos
Agora, vamos calcular o valor da distância semifocal:
Com esse valor, podemos localizar os focos da elipse:
4 Excentricidade
A excentricidade da elipse é o quociente entre a distância semifocal e o semi-eixo maior:
5 Gráfico
1 Eixo maior
A equação da elipse já está na forma canônica, então podemos calcular o valor do semi-eixo maior:
Com isso, podemos encontrar os vértices que formam o eixo maior:
2 Eixo menor
O valor do semi-eixo menor é:
Portanto, os vértices que estão no eixo menor são:
3 Focos
Agora, vamos calcular o valor da distância semifocal:
Com esse valor, podemos localizar os focos da elipse:
4 Excentricidade
A excentricidade da elipse é o quociente entre a distância semifocal e o semi-eixo maior:
5 Gráfico
1 Obter equação canônica (reduzida)
2 Eixo maior
Obtemos o valor do semieixo maior
E encontrar os vértices que formam o eixo maior:
3 Eixo menor
O valor do semi-eixo menor é:
Portanto, os vértices que estão no eixo menor são:
4 Focos
Agora, vamos calcular o valor da distância semifocal:
Com esse valor, podemos localizar os focos da elipse:
5 Excentricidade
A excentricidade da elipse é o quociente entre a distância semifocal e o semi-eixo maior:
6 Gráfico
1 Eixo maior
A equação da elipse já está na forma canônica, então procedemos para obter o valor do semi-eixo maior:
E assim, encontramos os vértices que formam o eixo maior:
2 Eixo menor
O valor do semi-eixo menor é:
Portanto, os vértices que se encontram no eixo menor são:
3 Focos
Agora, calculamos o valor da distância semifocal:
E com isso, localizamos os focos:
4 Excentricidade
A excentricidade é igual ao quociente da distância semifocal e o semi-eixo maior:
5 Gráfico
1 Obter a equação canônica (reduzida)
2 Eixo maior
A equação da elipse já está na forma canônica, então procedemos para obter o valor do semi-eixo maior:
E assim, encontramos os vértices que formam o eixo maior:
3 Eixo menor
O valor do semi-eixo menor é:
Portanto, os vértices que se encontram no eixo menor são:
4 Focos
Agora, calculamos o valor da distância semifocal:
E com isso, localizamos os focos:
5 Excentricidade
A excentricidade é igual ao quociente da distância semifocal e o semi-eixo maior:
6 Gráfico
1 Obter a equação canônica (reduzida)
Completamos o quadrado perfeito:
Substituímos os trinomios pelos binômios ao quadrado:
Dividimos tudo por 4:
2 Centro
A partir da equação da elipse canônica, encontramos o centro:
3 Eixo maior
A equação da elipse já está na forma canônica, então procedemos para obter o valor do semi-eixo maior:
E assim, encontramos os vértices que formam o eixo maior:
4 Eixo menor
O valor do semi-eixo menor é:
Portanto, os vértices que se encontram no eixo menor são:
5 Focos
Agora, calculamos o valor da distância semifocal:
E com isso, localizamos os focos:
6 Gráfico
1 Obter a equação canônica (reduzida)
Completamos o quadrado perfeito:
Substituímos os trinomios pelos binômios ao quadrado:
Dividimos tudo por 225:
2 Centro
A partir da equação da elipse canônica, encontramos o centro:
3 Eixo maior
A equação da elipse já está na forma canônica, então procedemos para obter o valor do semi-eixo maior:
E assim, encontramos os vértices que formam o eixo maior:
4 Eixo menor
O valor do semi-eixo menor é:
Portanto, os vértices que se encontram no eixo menor são:
5 Focos
Agora, calculamos o valor da distância semifocal:
E com isso, localizamos os focos:
6 Gráfico
1 Obter a equação canônica
Completamos o quadrado perfeito:
Substituímos os trinomios pelos binômios ao quadrado:
Dividimos tudo por 12:
2 Centro
A partir da equação da elipse canônica, encontramos o centro:
3 Eixo maior
A equação da elipse já está na forma canônica, então procedemos para obter o valor do semi-eixo maior:
E assim, encontramos os vértices que formam o eixo maior:
4 Eixo menor
O valor do semi-eixo menor é:
Portanto, os vértices que se encontram no eixo menor são:
5 Focos
Agora, calculamos o valor da distância semifocal:
E com isso, localizamos os focos:
6 Gráfico
1 Obter a equação canônica
Completamos o quadrado perfeito:
Substituímos os trinomios pelos binômios ao quadrado:
Dividimos tudo por 9:
2 Centro
A partir da equação da elipse canônica, encontramos o centro:
3 Eixo maior
A equação da elipse já está na forma canônica, então procedemos para obter o valor do semi-eixo maior:
E assim, encontramos os vértices que formam o eixo maior:
4 Eixo menor
O valor do semi-eixo menor é:
Portanto, os vértices que se encontram no eixo menor são:
5 Focos
Agora, calculamos o valor da distância semifocal:
E com isso, localizamos os focos:
6 Gráfico
Equação da elipse
Determine a equação da elipse sabendo:
a
b
c
d
a
O valor de 
a distância do centro até o vértice A, enquanto o valor 
é a distância do centro até o foco. Então:
Os valores 
, 
e têm uma relação que é análoga ao Teorema de Pitágoras, ou seja:
Isolamos para calcular o valor de
Concluímos que:
b
O valor de é a distância do centro até o vértice A, enquanto o valor de é a distância do centro até o foco. Então:
Os valores , e têm uma relação que é análoga ao Teorema de Pitágoras, ou seja:
Isolamos para calcular o valor de
Concluímos que:
c
O valor de a distância do centro até o vértice A, enquanto o valor de é a distância do centro até o foco. Então:
Os valores , e têm uma relação que é análoga ao Teorema de Pitágoras, ou seja:
Isolamos para calcular o valor de
Concluímos que:
d
O valor de é a distância do centro até o vértice A, enquanto o valor de é a distância do centro até o foco. Então:
Os valores , e têm uma relação que é análoga ao Teorema de Pitágoras, ou seja:
Isolamos para calcular o valor de
Concluímos que:
Escreva a equação canônica da elipse com centro na origem que passa pelo ponto 
, cujo eixo menor tem comprimento 
e está sobre o eixo 
O eixo menor tem comprimento 
A equação canônica da elipse com centro na origem e com o eixo menor sobre o eixo Y tem a forma:
Como o ponto (2,1) pertence à elipse, suas coordenadas devem satisfazer a equação canônica da elipse. Ou seja:
Isolando para encontrar o valor de
Conhecendo os valores de e , concluimos que:
A distância focal de uma elipse com centro na origem é . . Um ponto da elipse está a 
e 
de distância dos seus focos, respectivamente. Calcule a equação canônica dessa elipse se o eixo maior estiver sobre o eixo 
A distância focal é dada por 
Lembre-se de que a soma das distâncias de um ponto na elipse aos focos é igual a 
Os valores , e têm uma relação que é análoga ao Teorema de Pitágoras, ou seja:
Isolando para calcular o valor de
Conhecendo os valores de e , concluimos que:
Escreva a equação canônica da elipse que passa pelos pontos:
Como passa pelos pontos , suas coordenadas devem satisfazer a equação canônica da elipse. Ou seja, temos o sistema:
Resolvendo o sistema:
Portanto:
Isolamos
Por fim:
Determine a equação canônica de uma elipse com centro na origem e eixo maior sobre o eixo , cuja distância focal é 
e a área do retângulo formado pelos eixos (maior e menor) é 
Como os lados do retângulo são os eixos da elipse e medem e então:
A distância focal é de
Os valores , e têm uma relação que é análoga ao Teorema de Pitágoras, ou seja,
Isso nos dá o sistema de duas equações:
Da primeira equação, isolamos 
e da segunda,
Usamos da segunda equação para substituir na primeira equação:
Desenvolvemos a equação:
Resolvemos usando a fórmula geral e obtemos o valor de
Conhecendo os valores de e , concluimos que:
Coordenadas de cordas da elipse
Encontre as coordenadas da corda que intercepta a reta:
na elipse de equação: 
1 Encontre os pontos de interseção
Os pontos de interseção são aqueles que resolvem o sistema das equações da reta e da elipse.
Para resolver, podemos isolar 
da primeira equação e elevar ao quadrado. Também isolamos 
da segunda equação:
Igualamos ambas as equações:
Usamos a fórmula geral para encontrar as soluções:
As soluções para a coordenada 
são:
As coordenadas podem ser calculadas usando qualquer equação do sistema. Neste caso, vamos usar:
Portanto, os pontos de interseção são dados por:
Encontre as coordenadas da corda que intercepta a reta: na elipse de equação: 
1 Encontre os pontos de interseção
Os pontos de interseção são aqueles que resolvem o sistema das equações da reta e da elipse.
Para resolver, podemos isolar a primeira equação e elevar ao quadrado. Também isolamos da segunda equação.
Igualamos ambas as equações:
Usamos a fórmula geral para encontrar as soluções:
As soluções para a coordenada são:
As coordenadas podem ser calculadas usando qualquer equação do sistema. Neste caso, vamos usar:
Portanto, os pontos de interseção são dados por:
Encontre as coordenadas da corda que intercepta a reta: 
na elipse de equação: 
1 Encontre os pontos de interseção
Os pontos de interseção são aqueles que resolvem o sistema das equações da reta e da elipse.
Para resolver, podemos isolar a primeira equação e elevar ao quadrado. Também isolamos da segunda equação.
Igualamos ambas as equações:
Usamos a fórmula geral para encontrar as soluções:
As soluções para a coordenada são:
As coordenadas podem ser calculadas usando qualquer equação do sistema. Neste caso, vamos usar:
Portanto, os pontos de interseção são dados por:
Encontre as coordenadas da corda que intercepta a reta: 
na elipse de equação: 
1 Encontre os pontos de interseção
Os pontos de interseção são aqueles que resolvem o sistema das equações da reta e da elipse.
Para resolver, podemos isolar 
da primeira equação e substituir na segunda equação:
E obtemos 
Assim, os pontos de interseção são dados por:
Encontre as coordenadas do ponto médio da corda que intercepta a reta: 
na elipse da equação: 
1 Encontre pontos de interseção
Os pontos de interseção são aqueles que resolvem o sistema das equações da reta e da elipse.
Para resolver, podemos isolar da primeira equação e elevar ao quadrado. Também isolamos da segunda equação.
Igualamos ambas as equações:
Usamos a fórmula geral para encontrar as soluções:
As soluções para a coordenada são:
As coordenadas podem ser calculadas usando qualquer equação do sistema. Neste caso, vamos usar:
Portanto, os pontos de interseção são dados por:
2 Encontre o ponto médio
O ponto médio entre os pontos A e B é dado por:
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