Nesta seção, descreveremos o conceito de inclinação de uma reta, bem como algumas formas de calculá-la. Em seguida, a partir do conceito de inclinação, definiremos a equação ponto-inclinação de uma reta. Por fim, apresentaremos alguns exemplos de como obter a equação ponto-inclinação de uma reta.
Inclinação de uma reta
Considere a reta mostrada na figura a seguir. A inclinação da reta é a tangente do ângulo 
que a reta forma com a direção positiva do eixo 
. Em outras palavras, se é o ângulo entre a reta e o eixo , então a inclinação é 
.
A inclinação costuma ser representada pela letra 
. Algumas fórmulas para calcular a inclinação são as seguintes:
1 Inclinação a partir do ângulo
Se já conhecemos o ângulo formado entre a reta e o eixo positivo então a inclinação é calculada por meio de: 
2 Inclinação a partir do vetor diretor da reta
Uma reta pode ser definida por meio de um vetor diretor 
e um ponto 
(que pertence à reta). Essa forma de definir uma reta é conhecida como equação paramétrica da reta.
Nesse caso, a inclinação é obtida utilizando:
Observe que a inclinação não depende do ponto, ela depende apenas do vetor diretor.
3 Inclinação a partir de dois pontos
Vamos lembrar que a tangente de um ângulo em um triângulo retângulo é definida como 
, onde 
é o comprimento do cateto oposto e 
é o comprimento do cateto adjacente.
Dessa forma, se observarmos a figura apresentada no início, podemos ver que 
e 
. Substituindo na expressão da tangente, temos:
Assim, a inclinação da reta que passa pelos pontos e 
é calculada por:
Interpretação da inclinação
Observe a figura a seguir, na qual o ângulo está entre 
e 
— ou seja, trata-se de um ângulo agudo —.
Se o ângulo que a reta 
forma com a parte positiva do eixo agudo, então a inclinação é positiva e aumenta à medida que o ângulo cresce, desde que ele permaneça menor que . Intuitivamente, a inclinação mede o quanto a reta está inclinada: uma inclinação grande significa que a reta está muito inclinada para cima.
Agora observe a figura a seguir, na qual o ângulo é maior que , mas menor que 
.
Se o ângulo que a reta forma com a parte positiva do eixo é obtuso, ou seja, maior que , mas menor que , a inclinação é negativa e tende a 
à medida que o ângulo aumenta. Da mesma forma, uma inclinação negativa também mede o quanto a reta está inclinada. No entanto, nesse caso, uma inclinação negativa de grande valor absoluto indica que a reta está muito inclinada para baixo.
Equação ponto-inclinação da reta
Agora vamos obter a equação ponto-inclinação da reta. É possível partir de diferentes equações da reta, mas nós começaremos pela equação contínua da reta. Nela, é um ponto pertencente à reta e é o vetor diretor.
Multiplicando ambos lados por 
, obtemos:
Como,
Então obtemos
Essa expressão é conhecida como equação ponto-inclinação da reta.
Observação: Para determinar a equação ponto-inclinação de uma reta, sempre precisamos de um ponto e a inclinação (que pode ser calculada por qualquer uma das formas apresentadas anteriormente).
Exemplos
1 Temos uma reta que passa pelo ponto 
e possui um vetor diretor 
. Escreva sua equação ponto-inclinação.
Solução: Foi fornecido um vetor diretor 
, portanto sua inclinação é dada por:
Substituindo, assim, na equação ponto-inclinação, 
e 
, temos que
Tenha cuidado com os sinais, pois 
.
2 Encontre a equação ponto-inclinação da reta que passa pelos pontos 
e 
.
Solução: Nesse caso temos dois pontos pertencentes à reta, portanto a inclinação é calculada por
Substituindo na equação ponto-inclinação, obtemos:
3 Determine a equação ponto-inclinação da reta que passa por e possui inclinação de 
.
Solução: Neste caso foi fornecido o ângulo entre a reta e o eixo . Assim, a inclinação é dada por
Logo, a equação ponto-inclinação da reta é:
Ou seja,
Resumir com IA:
Gostou desse artigo? Deixe uma nota!
Loading...
