Teorema de Pitágoras

Como o triângulo é retângulo e isósceles, então seus dois catetos são iguais. Aplicamos o Teorema de Pitágoras ao triângulo com hipotenusa   e lado :

Resolvendo, vamos obter:

Assim, os catetos medem

A escada, a parede e o chão formam um triângulo retângulo, no qual podemos tomar como hipotenusa o comprimento da escada, e como um dos catetos a distância da base da escada até a parede. Então, temos   e 

Nosso objetivo é calcular a altura que a escada alcança na parede, ou seja, encontrar o outro cateto. De acordo com as fórmulas anteriores e com a figura:

Primeiro, traçamos a altura do triângulo equilátero. Essa altura divide o triângulo em dois triângulos retângulos, com catetos a altura do triângulo equilátero, metade da base de um dos lados do triângulo e hipotenusa , o lado do triângulo inicial. Para encontrar a altura, aplicamos a fórmula para cateto em triângulo retângulo: 

Sabemos que a área de um triângulo é dada pela fórmula:

Neste caso, a base do triângulo é   e a altura é   

Substituindo na fórmula da área, temos:

A diagonal de um quadrado com lados medindo  divide a figura em dois triângulos retângulos, em que a diagonal    coincide com a hipotenusa em qualquer um dos triângulos. Precisamos, portanto, calcular a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos iguais a 

Utilizando a fórmula da hipotenusa:

Sendo assim, a diagonal mede

De forma semelhante ao exercício anterior, a diagonal do retângulo divide a figura em dois triângulos retângulos, com catetos de    e    e a diagonal corresponde à hipotenusa.

Vamos utilizar novamente a fórmula para a hipotenusa:

Assim, a diagonal tem comprimento de

O perímetro do trapézio é a soma do comprimento de seus lados. Pela figura, sabemos que o lado superior do trapézio mede    o lado inferior mede    e a altura do trapézio mede

Para calcular o lado diagonal do trapézio, que chamaremos de    devemos considerar o triângulo retângulo formado por um lado vertical de    lado horizontal    e hipotenusa    Como precisamos encontrar o valor de usaremos a fórmula para o cálculo da hipotenusa. Assim, temos:

Agora podemos calcular o perímetro, que é:

Para obter a área, observamos que o trapézio é formado por um triângulo retângulo e um retângulo. Então, sua área será a soma das áreas do triângulo e do retângulo. Ou seja:

A área do retângulo é simplesmente o produto da base pela altura, então:

A área do triângulo é dada por:

Portanto:

O perímetro do trapézio é igual à soma dos comprimentos de todos os lados. Assim, temos a seguinte igualdade    onde     é o comprimento de cada um dos lados não paralelos. Isolando da equação anterior, temos que: 

Dessa forma, resolvemos a primeira parte do problema.

Agora, lembrando que a área do trapézio é igual à soma das bases multiplicada pela altura, dividida por dois, precisamos calcular a altura do trapézio, que chamaremos de 

Pela figura, podemos considerar o triângulo retângulo de catetos   e com hipotenusa    Para encontrar o valor de  , vamos usar a fórmula para calcular catetos:

Agora podemos calcular a área do trapézio:

Sabemos que os lados do pentágono regular medem   Como a área do pentágono é igual à metade do produto do perímetro pelo apótema, precisamos encontrar o valor do apótema, que chamaremos de conforme a figura.

Para calcular consideramos o triângulo com catetos e hipotenusa Utilizando a fórmula para catetos:

O perímetro do pentágono é:

Assim, a área do pentágono será:

Como o quadrado está inscrito em uma circunferência, ele pode ser dividido em triângulos retângulos com catetos iguais ao raio da circunferência, , e hiputenusa igual ao lado do quadrado . Assim, podemos usar a fórmula da hipotenusa para calcular o lado o triângulo:

.

Portanto, como a área do quadrado é   , então: 

Para calcular a área do círculo, primeiro precisamos encontrar o raio. Como a corda está a   do centro, podemos formar um triângulo retângulo com catetos , metade da corda, e e hipotenusa igual ao raio do círculo, . Desta forma, para encontrar o raio, vamos utilizar a fórmula da hipotenusa:

A área do círculo é dada por: