A circunferência e sua equação
A circunferência pode ser definida como o lugar geométrico dos pontos do plano que estão equidistantes de um ponto fixo 
que chamamos centro.
Portanto, cada ponto 
da circunferência satisfaz:
onde a distância 
é chamada de raio. Assim, temos a seguinte equação:
Elevando ao quadrado a equação acima, obtemos:
Essa equação é conhecida como a equação reduzida da circunferência. Para obter a equação geral, desenvolvemos os quadrados dos binômios:
Em seguida, reagrupamos os termos da seguinte forma:
Consideramos as seguintes substituições:
Portanto, a equação da circunferência pode ser escrita da seguinte maneira:
Essa é chamada de equação geral da circunferência. Aqui, o centro é dado por:
e o raio satisfaz a relação:
É importante observar que a equação
deve satisfazer as seguintes condições para representar uma circunferência:
- A desigualdade abaixo deve ser satisfeita:
- A equação não pode conter o termo
(ou seja, 
e 
não podem estar multiplicados entre si). - Os coeficientes de
e 
devem ser iguais a 1.
Observação: caso os coeficientes de e sejam diferentes de 1, ambos devem ser iguais entre si. Nesse caso, podemos dividir a equação por esse coeficiente comum para obter a equação geral da circunferência.
Observação: se o centro da circunferência coincide com a origem do sistema de coordenadas, então a equação da circunferência (seja na forma reduzida ou geral) é simplificada para:
Essa forma é chamada de equação canônica da circunferência.
Exercícios de equação reduzida da circunferência
Escreva a equação da circunferência com centro em 
e raio 2.
A equação reduzida da circunferência é:
Para obter a equação geral, desenvolvemos os binômios ao quadrado:
Agrupando os termos semelhantes:
Dada a circunferência cuja equação é 
, encontre seu centro e seu raio.
O centro é dado por:
O raio é obtido por:
Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos 
, 
e 
.
Para isso, usamos a equação geral da circunferência:
Substituindo os pontos:
Com 
:
Com 
:
Com 
:
Temos o sistema:
Resolvendo o sistema, obtemos:
Portanto, a equação geral da circunferência é:
A equação 
representa uma circunferência? Se sim, determine o centro e o raio.
Os coeficientes de e são iguais, então dividimos por 4:
Não há termo , e a condição de existência do raio é satisfeita.
Por último, vamos verificar que satisfaça a desiguadade com os termos 
e 
.
Como cumpre a três condições, então a equação pode ser considerada uma circunferência.
Para encontrar o centro, temos:
Logo, o raio satisfaz:
.
Calcule a equação da circunferência com centro em 
e tangente ao eixo das abscissas.
Pede-se que seja encontrado uma circunferência tangente a uma reta.
Sempre que isso ocorre, o raio será igual à distância entre o centro da circunferência e a reta à qual ela deve ser tangente. Portanto, precisamos calcular essa distância.
Primeiro, lembramos que o eixo das abscissas é a reta 
. Além disso, a distância entre um ponto 
e a reta 
é:
Assim, a distância entre o ponto e a reta é:
Portanto, a equação reduzida da circunferência é:
A representação gráfica dessa circunferência pode ser vista na figura a seguir.
Calcule a equação da circunferência com centro em 
e tangente ao eixo das ordenadas.
Calcule a equação da circunferência com centro em e que é tangente ao eixo das ordenadas.
Assim como no exercício anterior, devemos encontrar a distância entre o centro e o eixo das ordenadas.
Lembrando que o eixo das ordenadas é dado pela equação 
. Dessa forma, a distância é:
Portanto, a equação da circunferência é:
A representação gráfica da circunferência pode ser vista na figura a seguir:
Calcule a equação da circunferência com centro na interseção das retas 
e 
, e raio 5.
Para encontrar a equação da circunferência, basta encontrar a interseção entre as duas retas (o raio já é conhecido). Para isso, igualamos as equações:
Daí obtemos 
, ou seja, 
.
Substituindo em qualquer das equações, encontramos 
.
Portanto, o centro é 
e a equação da circunferência é:
ou, na forma geral:
A representação gráfica pode ser vista na figura a seguir.
Encontre a equação da circunferência que passa por 
e é concêntrica à circunferência 
Este problema pode ser resolvido de duas maneiras diferentes:
A mais simples é perceber que todas as circunferências concêntricas a
terão uma equação da forma:
Portanto, devemos substituir o ponto para encontrar o valor de , o que nos dá:
Ou seja, 
, portanto,
. Assim, a equação da circunferência é:
Observação: A outra maneira seria determinar o centro da circunferência e usar a equação ordinária para encontrar o raio.
A representação gráfica da circunferência pode ser vista na figura a seguir.
Os extremos do diâmetro de uma circunferência são 
e 
. Qual é a equação dessa circunferência?
Para resolver este problema, devemos encontrar o raio e o centro.
O raio é a metade do diâmetro, portanto, será a metade da distância entre 
e 
:
Por outro lado, o centro é o ponto médio entre e :
Dessa forma, a equação ordinária da circunferência é:
Enquanto a equação geral é:
A representação gráfica pode ser vista a seguir.
Encontre a equação da circunferência concêntrica à 
e que passa pelo ponto 
.
Para resolver esta equação, precisamos encontrar o centro da circunferência. Portanto, vamos trabalhar com a forma ordinária. O centro é dado por:
Uma vez encontrado o centro, devemos calcular a distância entre o centro e a reta dada; essa distância será o raio:
Portanto, a equação da circunferência é:
A representação gráfica pode ser observada na figura a seguir.
Encontre a equação da circunferência que passa pelos pontos 
e 
, e cujo centro está sobre a reta 
.
Como precisamos trabalhar com o centro, usaremos a equação reduzida da circunferência, e não a geral.
Seja
o centro da circunferência e seu raio.
Sabemos que o centro satisfaz:
Por outro lado, a equação reduzida da circunferência é:
Substituindo o ponto , temos:
Fazendo o mesmo com o ponto :
Assim, obtemos o seguinte sistema de equações (não linear):
Para resolver, igualamos as duas primeiras equações (já que ambas são iguais a 
) :
Desenvolvendo os binômios e simplificando, obtemos:
Da terceira equação, isolamos 
: 
.
Substituindo essa expressão na anterior:
Com isso, 
.
Substituindo e 
na primeira equação do sistema, obtemos:
.
Assim, a equação reduzida da circunferência é:
Veja o grafico:
Calcule a equação da circunferência que passa pelo ponto 
, tem raio 
e centro localizado sobre a bissetriz dos quadrantes primeiro e terceiro.
Sabemos que a bissetriz dos quadrantes primeiro e terceiro é a reta:
(ou 
).
Isso significa que o centro da circunferência, , satisfaz a:
, ou seja,
podemos escrevê-lo como 
.
Como a circunferência passa pelo ponto e tem raio 
,
substituímos esses dados na forma reduzida da equação da circunferência:
Só temos como incógnita, então essa equação é suficiente. Desenvolvendo os binômios:
Temos, assim, uma equação do segundo grau. Usando a fórmula de Bhaskara (ou outro método), encontramos:
e 
Portanto, há duas circunferências que atendem às condições do problema.
A primeira tem centro em 
, e sua equação, primeiro na forma reduzida e depois na forma geral, é:
A segunda tem centro em 
, e sua equação é:
Esse é o gráfico:
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