Problemas resolvidos de triângulos retângulos

De um triângulo retângulo , temos a seguinte informação:

A hipotenusa: .

Um dos catetos:

Resolva o triângulo.

Resolver o triângulo significa encontrar as medidas do lado que falta e os valores de todos os ângulos nele. Nota-se que, sendo um triângulo retângulo, sabemos que o ângulo .

Aplicando o seno temos que

Aplicando o arco seno, temos que o ângulo vale . Agora, uma vez que temos dois ângulos, podemos calcular imediatamente o último;

Agora, uma vez que temos dois ângulos, podemos calcular imediatamente o último.:

Aplicando cosseno no ângulo e resolvendo, vamos obter o valor do lado:

Desta forma, conseguimos obter as informações que faltavam.

De um triângulo retângulo , sabemos que os catetos

Resolva o triângulo.

"Resolver o triângulo" significa encontrar os lados e ângulos que faltam. É importante notar que, sendo um triângulo retângulo, também sabemos que o ângulo .

Para encontrar o ângulo vamos calcular a tangente e em seguida, vamos aplicar a função arco-tangente.:

Então, ao aplicarmos a função arco-tangente, . Desta forma, temos dois ângulos, então podemos calcular diretamente o terceiro. :

Por último, para obter o valor do lado vamos utilizar a fórmula do seno e vamos a aplicar ao ângulo , então, vamos resolver para encontrar seu valor.

Assim, conseguimos os dados que faltavam.

De um triângulo retângulo , sabe-se a hipotenusa e um dos ângulos, cujos valores são

respectivamente. Resolva o triângulo.

Resolver um triângulo implica encontrar os lados e ângulos ausentes. Vale notar que, ao ser um ângulo reto, isso implica que .

Ao conhecer dois dos três ângulos, podemos obter o terceiro diretamente. :

Para obter o lado vamos aplicar a função seno sobre o ângulo e resolvemos :

Para obter o lado aplicamos a função cosseno sobre o ângulo e obtemos :

E assim, conseguimos encontrar os dois lados e os ângulos desconhecidos do problema.

De um triângulo retângulo , conhecemos um cateto e um ângulo

Resolva o triângulo.

Vamos encontrar os lados e ângulos que faltam. É importante notar que, sendo um ângulo reto, já conhecemos de antemão o ângulo .

Uma vez que já conhecemos dois dos três ângulos, podemos calcular o que falta., de maneira direta

Para obter o lado aplicamos a função do seno sobre o ângulo. e resolvemos :

Para obter o lado Aplicamos a função da cotangente sobre o ângulo. e resolvemos :

E, assim, encontramos os lados e ângulos que faltavam.

De um triângulo retângulo , temos a hipotenusa e um ângulo

Resolva o triângulo.

Vamos determinar os lados e ângulos restantes. É importante observar que, sendo um ângulo reto, já conhecemos o ângulo de antemão. .

Uma vez que já conhecemos dois dos três ângulos, podemos calcular o que falta, , de maneira direta

Para obter o lado aplicamos a função do seno sobre o ângulo e resolvemos :

Para obter o lado aplicamos a função do cosseno sobre o ângulo e resolvemos :

E desta forma, encontramos os lados e ângulos em falta.

De um triângulo retângulo , sabemos o cateto e um ângulo

Resolva o triângulo.

Vamos obter os lados e ângulos desconhecidos. É importante observar que, sendo um ângulo reto, já conhecemos o ângulo de antemão. .

Já que conhecemos dois dos três ângulos, podemos calcular o que está faltando, , de maneira direta

Para obter o lado aplicamos a função tangente sobre o ângulo e resolvemos :

Para obter o lado aplicamos a função do seno sobre o ângulo e resolvemos :

E, desta forma, encontramos os lados e ângulos desconhecidos.

De um triângulo retângulo , conhecemos a hipotenusa e um dos catetos.

Resolva o triângulo.

Vamos determinar os lados e ângulos restantes. É importante observar que, sendo um ângulo reto, já conhecemos o ângulo de antemão. .

Para obter o ângulo primeiro calculamos a função cosseno do ângulo utilizando o cateto e a hipotenusa que conhecemos para, então, aplicar a função inversa de arco seno.

Aplicando arco seno obtenemos . Notamos que, agora que temos dois de os três ângulos, podemos calcular de forma direta o ângulo que falta

Para obter o lado aplicamos a função do seno sobre o ângulo e resolvemos :

Encontramos os lados e ângulos em falta.

De um triângulo retângulo , conhecemos os dois catetos

Resolva o triângulo.

Vamos encontrar os lados e ângulos que faltam. Note que, sendo um ângulo reto, já conhecemos de antemão o ângulo .

Para obter o ângulo primeiro, vamos calcular a tangente utilizando os catetos e, então, calcular o arco tangente

Desta maneira, temos que . Agora que temos dois dos três ângulos, podemos obter o que está faltando de forma direta

Para obter o lado aplicamos a função do seno sobre o ângulo e resolvemos :

Encontramos os lados e ângulos que faltavam.

Uma árvore de de altura projeta uma sombra de de largura.

Encontre o ângulo de elevação do sol nesse momento.

Observe que entre o solo e a árvore se forma um ângulo de . Dessa forma, temos dois catetos. Além do mais, temos que o ângulo de elevação é o ângulo formado no vértice onde termina a sombra como é possível observar na imagem a seguir:

Portanto, para obter o ângulo de elevação primeiro calculamos a tangente utilizando os catetos e então aplicamos a função arco tangente ao resultado

Portanto, temos que .

Um balão que está voando a de altura, consegue ver uma cidade com um ângulo de depressão de .

A que distância da cidade está?

A seguinte imagem mostra o esquema fornecido pelos dados.

Um balão que está voando a de altura, consegue ver uma cidade com um ângulo de depressão de .

A que distância da cidade está?

A seguinte imagem mostra o esquema fornecido pelos dados.

O que realmente queremos é encontrar a distância que o dirigível deve percorrer voando sobre o povoado. Isto é, queremos encontrar o cateto , para isso, vamos calcular a função da tangente do ângulo com valor e, ao mesmo tempo, usamos os catetos e então resolvemos, :

Encontre o raio de uma circunferência sabendo que uma corda de tem como arco correspondente de .

Vamos lembrar que o ângulo central tem a mesma medida que o arco que ele abrange. Dito isso, temos o seguinte esquema.

Para obter o raio (lado ) vamos aplicar a função do seno sobre o ângulo que mede utilizando o cateto que conhecemos e e então resolver o raio:

Calcule a área de um terreno triangular, sabendo que dois de seus lados medem e , e formam entre si um ângulo de .

Vamos encontrar o ângulo . Agora, na seguinte imagem mostramos o triângulo.

Perceba que a altura divide nosso triângulo inicial em dois triângulos retângulos. Vamos utilizar o triângulo da direita, pois temos mais informações nele, para obter o valor da altura e, posteriormente, calcular a área. Para encontrar a altura, vamos usar o seno do ângulo. , o cateto que pertence este triângulo e a altura, assim, terminamos resolvendo a altura:

Agora que sabemos que a altura mede , vamos calcular a área:

Calcule a altura de uma árvore, sabendo que a partir de um ponto do terreno sua copa é observada sob um ângulo de e, ao aproximar , sob um ângulo de .

Vamos tentar ilustrar o problema para entender melhor. A seguinte imagem nos ajudará com isso.

Para resolver o problema, primeiro calculamos a tangente do ângulo de e os catetos correspondentes e então, calculamos a tangente do ângulo de com os catetos correspondentes e resolvemos de ambos:

É importante destacar que isso nos dará um sistema de equações para solucionar a altura

Resolvendo o sistema temos que .

O comprimento do lado de um octógono regular é . Encontrar os raios da circunferência inscrita e circunscrita.

A próxima imagem nos permite observar qual é o raio da circunferência inscrita e qual é o da circunferência circunscrita.

Note que o lado . Além disso, o lado define o raio da circunferência inscrita, enquanto que o lado define o raio da circunferência circunscrita. Ainda, sabemos que o ângulo já que se trata de um octógono, portanto, temos que .

Raio da circunferência inscrita

Calculamos a tangente do ângulo utilizando tanto o valor do ângulo como os catetos para, no final, poder resolver o cateto .

Raio da circunferência circunscrita

Calculamos o seno do ângulo utilizando tanto o valor do ângulo como o cateto e a hipotenusa para, no final, poder resolver a hipotenusa .

Calcule o comprimento do lado e a apótema de um octógono regular inscrito em uma circunferência de de raio.

A imagem abaixo nos permite observar melhor o problema.

Observe que el raio é igual ao lado . Assim, o lado do octógono está definido por e que .

Também notamos que o apótema separa o ângulo em dois. Além disso, sabemos que o ângulo já que se trata de um octógono, portanto, temos que . Vamos notar, também, que os lados , e formam um triângulo retângulo.

Lado do octógono

Vamos calcular o seno do ângulo utilizando tanto o valor do ângulo como a hipotenusa (o raio do octógono) e o cateto (a metade de um lado do octógono) para, no final, poder resolver o cateto .

Portanto, o lado mede .

Apótema do octógono

Vamos calcular o cosseno do ângulo utilizando tanto o valor do ângulo como o da hipotenusa (o raio do octógono) e o cateto (a apótema) para, no final, poder resolver o cateto .

Três cidades , e estão unidas por estradas. A distância de a é de e a de a de . Além disso, o ângulo que formam entre as estradas é de de .

Qual a distância entre e ?

A seguinte imagem nos ajudará a observar melhor o problema.

Perceba que fizemos algumas construções adicionais para resolver o problema usando triângulos retângulos. Para resolver o problema, primeiro precisamos encontrar os catetos do triângulo retângulo que formamos (o de cor verde) e, posteriormente, usaremos esses dados para obter os catetos do triângulo maior e, assim, a hipotenusa, que é o valor que estamos procurando.

Catetos do triângulo retângulo verde

Calculamos seno e o cosseno do ângulo utilizando tanto o valor do ângulo como os catetos e a hipotenusa para, no final, poder resolver los catetos e , respectivamente.

Catetos do triângulo retângulo maior e hipotenusa

Utilizamos o teorema de Pitágoras para calcular a hipotenusa. Primeiro, temos que os catetos que utilizamos são e .